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数列与不等式问题教学初探

   远安一高   黄世亮

    多年来，数列与不等式的综合运用都作为高考的重要考查对象,很多时候以压轴题形式出现。其原因是它不仅能充分考查相关基础知识，更重要的是它能够有效的考查学生综合思维能力。正因为其具有较强的综合性，对学生的思维能力要求高，所以学生对此类问题常常感到畏惧。要使学生最终在高考时对此类题有所突破，教师对相关内容的教学要有长期规划，进行系统的、循序渐进的阶梯式教学，使学生逐步完成从基础知识到横向渗透到综合能力的迁升。下面是笔者在教学实践中的一点尝试。

一、在高一学习教材的第三章“数列”时，当学生具备了数列的基本知识之后，开始在数列中加入一些简单的不等变形，如

1．  已知数列满足，则

2．  已知数列满足，则

3．  ①求和：           

②证明：

二、在高二学习教材的第六章“不等式”时，当学生有了较全面的不等式知识之后，回过头来先对数列的基本知识作必要的回顾，如数列求通项的基本方法和题型以及数列求和的基本方法，然后再把不等式知识与数列知识进行再一次的勾通。

例1：已知数列的通项公式为，数列的前项和为，且，求证：.

略解:易得,接下来求和即可得证.

例2：已知数列满足:,其中,(1)是否存在实数,使构成公差不为的等差数列?若存在,请求出实数的值,若不存在,请说明理由;

(2)求证:当时,总能找到,使得.

略解:(1)略;(2)

令,

故时, .

例3：已知函数的定义域为，且同时满足：①；②对一切恒成立；③若，则.

(1)求函数的最大值和最小值；（2）试比较与的大小；（3）某同学发现：当时，有，由此他提出猜想：对一切，都有，请你判断是否正确，并说明理由。

略解:(1)略;(2)在③中令,得

(3)对,总存在,满足,由(1)(2)得: ,又

综上所述,对任意,恒成立.

三、在学习教材第十三章“极限”时，当学生掌握了数学归纳法和对数列知识重新运用之后，再一次将数列和不等式知识进行嫁接，并适度提升。

例4：已知数列满足递推关系式：.证明:

(1)    当时,有;(2)当时, 有.

证明:(1) 从而,即数列为递增数列.又由及可求得,于是当时, ,,即时, .

(2)    由于时, 所以时, .

由可得.

下面用数学归纳法证明下面的不等式成立: .

(Ⅰ)当时, 结论成立.

(Ⅱ)假设结论对成立,即,则结合(1)的结论可得

即当时结论也成立.

综合(Ⅰ) (Ⅱ)可知,不等式对一切都成立.

因此,当时, 即

又,所以当时,有.

四、在高三第一轮复习时,把数列和极限数学归纳法放在一起复习,并把其与不等式知识再次整合,形成综合训练.然后与高考题作适当的接轨训练.

例5:已知数列满足递推式:,

(1)若,求数列的通项公式;

(2)求证:

(3)求证: .

略解:(1)易得.

(2)  .

(3) 可证: ,则

故成立.

  例6(2010年湖北压轴题)：已知函数f(x)=ax++c(a＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.

(Ⅰ)用a表示出b,c;

(Ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；

(Ⅲ)证明：1+++…+＞㏑(n+1)+)(n≥1).

略解：（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当时，有。

   令，有

   当时，。

   令，有

    即 ，

    将上述个不等式一次相加得

    整理得：

     解法二：用数学归纳法证明

（１）   当时，左边，右边，不等式成立

（２）   假设时，　不等式成立，　就是　

　　　由（Ⅱ）知：当时，有

      令，有

      令，得：

        就是说， 当时，不等式也成立。

       根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立。

                                          2016-4-26