等可能性问题

             何玉林

概率论是用数字刻画事件发生可能性大小的数学分支，它探讨随机现象的规律性，为人们认识世界提供了重要的模式和方法。“36选7”是确定体育彩票中间号码时所采用的一种常规方法，是古典概型的一个典型例子；飞镖的命中率是几何概型的一个典型例子。这两种概型都有一个共同的特点：基本事件的发生都是等可能性的。而在现实的教学中不难发现，学生由于忽视事件发生的等可能性，导致概率的学习存在不少的问题。

一：古典概型中的等可能性

例1：同时投掷两个骰子，计算向上的点数之和是7的概率是多少？

错解：投掷出现的点数之和一共有种可能，分别为，因此点数之和为7的概率为。

剖析：如果我们以投掷出现的点数作为考察对象，则基本事件一共有11种可能，但是这里的每一种结果出现的机会不是均等的，如2出现1次，5出现4次，而7出现6次，因而以点数之和作为考察对象，它不是等可能行事件。

 正解：以两次投掷分别出现的点数作为考察对象，则基本事件由有序数对  组成，共有36种可能，它们的出现是等可能的。事件向上的点数之和是7 一共包含了 这6种 基本事件，因此向上的点数之和是7的概率为

点评：古典概型求基本事件时，一定要从等可能性入手，对照基本事件的含义和特征进行思考，并将所有可能的基本事件一一列举出来。同时，一次实验中的“可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的。例如，甲，乙，丙丁四名同学站成一排，求甲站在两端的概率。若从四名同学的站位来看，共有种结果，而甲站在两端一共有12种结果，因此概率为；若仅从甲的站位看，则结果只有四种， 甲站在“1号位”，“2号位”，“3号位”，“4号位”四种结果，甲在两端有2种结果，因此概率为。

二：几何概型中的等可能性

例2：在等腰直角三角形中，过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，求的概率.

错解：记“”为事件，由于点随机地落在线段上，是等可能的，所以在线段上截取,当点落在线段上时，事件发生，于是.

剖析：显然，点随机地落在线段上，但并不是等可能的，射线在内才是等可能分布的，因此需要从角度分析。若将题目条件改为在斜边上任取一点，点地落在线段才是等可能的，上述解法才是正确的。

正解：射线在内才是等可能分布的，在线段上截取，连接，则,记“”为事件,则事件的度量为，而随机事件的总度量为，所以。

变式：在等腰直角三角形中，为直角顶点，在三角形内取点，连交于点，求的概率.

剖析：点随机落在直角三角形中，并且点等可能的落在直角三角形中，记“”为事件，线段上截取则事件的度量为的面积，所以

点评：上述问题都是求求的概率，但是由于事件的条件不同，因此分析事件的等可能角度也不一样。在斜边上任取一点，它的度量为线段的长度；过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，它的度量为角度；在三角形内取点，连交于点，而它的度量为三角形的面积。几何概型是一种特殊的随机事件模型，是概率问题的几何形式，它的度量可以是长度，角度，面积，体积。处理几何概型关键是要找到所求条件对应的度量，它的关键就是事件发生是否等可能。