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浅谈均值不等式的应用

远安县第一高级中学   赵泽国

均值不等式是不等式一章的重要内容，也是每年高考考察的知识点之一。均值不等式在高中数学中有广泛的应用，运用均值不等式求可以求函数的最值、求参数范围、证明不等式、解决应用问题等，但是应用均值不等式时要注意满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。当然，在应用均值不等式解决问题时，问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。下面笔者结合部分例子浅谈一下二维均值不等式的应用问题

一、均值不等式及其重要变形；

若都是非负实数,对于均值不等式（，当且仅当时取等号）。如果n个正数的和是一个定值，那么他们的积有最大值；如果n个正数的积是一个定值，那么他们的和有最小值。也就是说：若，则当时，有最大值；若，则当时，有最小值。

二、均值不等式的应用；

1、利用均值不等式求函数最值

例1、求函数的最小值。

【分析】本题是二次分式函数，因分母的次数低于分子的次数，可用分离常数的办法写成对勾函数形式，再运用均值不等式求最值.

解：=

当即0时等号成立

【评注】对于一次或二次分式函数，分子式一次函数或二次函数，分母是一次分式，可以采用把分子写成分母形式分离实数化成对勾函数形式，然后应用均值不等式或是对勾函数性质求最值。

例2、已知正数满足，求的最小值。

【分析】将看做，1用已知条件整体代换，可用均值不等式求解。

解：==（=

当且仅当且时等号成立，所以最小值为18.

2、利用均值不等式求范围

例3、如图，P是抛物线C：上一点，直线过点P，且与抛物线C交于另一点Q，若直线不过原点，且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围。

解：设直线，依题意，则T（0，b），又设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）

由P、Q、T三点共线，得，即

则，

于是

分别过P、Q作PP”⊥x轴，QQ”⊥x轴，垂足分别为P”、Q”，则

∵可取一切不等于1的正数，

∴的取值范围是（2，）

评注：本题的解题关键是根据题设条件将化简，运用均值不等式求出最值，进而求出其取值范围。

3、利用均值不等式证明不等式

例4、设，求证：

【分析】由题设可以分析出当且仅当时有最大值，即，由此我们可以通过配凑，来对其进行证明。

     证明：

将上面三式左右分别相加得：

因此原命题成立。

【评注】分段应用基本不等式然后整体相加（相乘）得出结论，是证明此类型不等式的常用技巧。

例5、设 为三角形的三边长，求证：

【分析】、为脱去左边的根号，将、、分别进行适当变形或换元，从而应用均值不等式即可得证。

证明：设且x,y,z均大于0。则

=

=3                               

当且仅当，不等式取等号，因此此命题成立。

4、利用均值不等式解函数应用题；

例6、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

【分析】把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.

解　设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，则顶部面积，依题设，得40＋2×45＋20＝3 200，由基本不等式得3 200，则＋6－1600，即(－10)( ＋16)≤0，故0<≤10，从而0<≤100，所以的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40＝90且＝100，解得＝15，即铁栅的长应设计为15米.

　　均值不等式是中学的一个重点，也是一个难点，它的应用很广泛。应用均值不等式时，一定要注意“一正、二定、三相等”的条件，特别是“等号条件的成立”，并且要学会一些常见的凑配和变性技巧，使得能够应用均值不等式。