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一道向量高考题的解法探究

远安县第一高级中学   赵泽国

2013年高考数学浙江卷第7题：

设△ABC，P₀是边AB上一定点，满足P₀B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则 (　　)

A．∠ABC＝90°         B．∠BAC＝90°      C．AB＝AC        D．AC＝BC

由恒成立，不难得出本题是考察向量的数量积最值问题，难点是已知在处取得最小值可以得到具有什么特征，或者怎样应用这个结论去探究问题。

高考答案给的解答如下

解法一：以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立直角坐标系，设，，则，∴，，，∵恒有        ∴恒成立
整理可得恒成立∴△=△ 
又∵，∴，即在的垂直平分线上
∴

故为等腰三角形          所以选

评注：解法一用坐标法将向量数量积问题转化为坐标的运算，再将一元二次不等式恒成立问题转化为判别式问题，从而求出的横坐标来判断的形状。通过解法一可以看出用坐标法解决向量问题可以将向量问题转化为坐标运算，大大降低了思维量，解题非常方便。

解法二：基底法，本题选为基底，设的夹角为,在上，设，则

则==

此时通过基底与数量积的定义化成了关于的二次函数，当时取得最小值

又由题意得，当在处即取得最小值

，即在上的射影为的中点，∴

故为等腰三角形          答案选

评注：解法二用基底法将所求向量都用基底表示，将数量积问题转化为基底的模与夹角计算问题，从而将向量问题转化为实数运算，再由二次函数的最值问题求出向量的模和夹角关系，最终得到相应的结果，解题也很方便。坐标法和基底法是解决向量问题的两种主要方法，两者都可以将向量问题转化为实数的计算问题。

解法三：取中点，连,则,,

＝

同理=，

∵≥恒成立，

∴恒成立．即，

取AB的中点N，又,   则，∴＝.故选

评注：解法三通过取中点，将数量积表示只与有关的函数，减少了变量，降低了难度，再通过定点到定直线最短距离为点到直线的距离，从到得到四等分点也是在上的射影。

解法四：数量积的几何意义

如图，过作于,连，则为的夹角。由恒成立得为为最小值，必为钝角，必在之间。

=，由数量积几何意义得等于与在方向上投影=，,而=,由基本不等式得当且仅当为中点时最大，即最小。

又因为最小，四等分点为中点，所以垂足为中点

∴＝,故选D.

评注：解法四通过数量积的几何意义，将数量积转化为向量的模的乘积，应用基本不等式，求使得取的最小值的点的位置，从而求解。其实在处理数量积问题时，利用数量积的几何意义来解题有时候可以降低思维量，简化运算，达到事半功倍的效果。

通过以上四种解法，我觉得解决数学问题，一是注重问题的通解通法，高考的命题趋势在本质上是考察学生对知识的理解和数学思想方法的掌握程度及灵活应用知识的能力，本题解法一、二是解决向量问题常用方法，学生必须掌握常规问题通解通法。二是注重数学本质的教学，数量积的本质就是数量积的几何意义，本题解法三、四抓住数量积本质转为几何问题来解决。我们在平时教学时在引导学生重视方法的同时，努力提高数学本质的认识和理解。