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数学题的策略

新新万博软件2018 的一个落脚点就是要培养学生解决问题的能力。在课堂上，学生是自主学习锻炼能力的主体，教师不是知识的灌输者，而是学习过程的组织者、参与者和引导者，那么，如何引导才能达到培养学生能力的目的？教师心中要有明确的目标。本文认为，从引导学生培养解决问题的策略这个角度入手是一种有效的做法，因为，策略是哲学层次的东西，可以说是能力的能力。

一、好心态优先的策略。沉着冷静，从容镇定，战略上藐视问题，战术上重视问题，胆大心细，有大将风度，才会令解题者左右逢源，妙计叠出，否则只会“逻辑乱套，直觉失效，没有题感，死得很惨”。

例1、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、8  cm²   B、6 cm² C、3 cm² D、20 cm²（06年全国卷Ⅰ，11）

【解析】：对于绝大部分考生来说，这是一道难度较大的选择题，因为你去安排各边的长度时，组合的可能有许多，因此面对命题者用此题“把关”，不少考生选择放弃思考。其实由题设知道，这个三角形的周长是定值20，周长是定值的三角形在高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，因此对于直觉比较好的学生来说，会意识到只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时面积最大，也就是说，形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为6 cm²，选B。

二、定义域优先的策略。在解函数题时，这一条极其重要。如判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称；对变量进行换元，要记住“换元必换域”的口诀，比如令sinx+cosx=t，必须随即写上新变量t的取值范围；复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域，等等。

例2、求函数y=lg(x²+2x)的单调区间。

【解析】：注意先考虑定义域。

三、定义法优先的策略。定义是知识的生长点，用定义法解题是回归本源的高明方法。波利亚解题法中就有“回到定义去”的重要提醒句。

例3、已知椭圆9x²+25y²=225内有一点A（1，1），右焦点F，请在椭圆上找一点P，使∣PA∣+∣PF∣最小。

【解析】：先把∣PF∣转化为P点到右准线的距离就好办了。

四、范围优先的策略。在三角函数这个内容里面，有一句口诀叫做“求角先求函数值，总要优先定范围”。

例4、已知3sin²x+2sin²y-2sinx=0，求cos²x+cos²y的取值范围

五、特情优先的策略。命题者出于考查严谨性的考虑，一般都有意识地在题目中设置一些特殊情况作为问题的一个小分支，这个小分支本身并不难，但要求解题者不要漏掉。比如：分母为零吗？二次项系数为零吗？等比数列的公比为1吗？直线方程的斜率存在吗？斜率为零吗？直线方程中截距为零吗？集合问题中考虑集合为空集的情形了吗？所给的集合是点集还是数集？端点值能够取到吗?求数列通项公式时，第一项是否不符合通项公式而需要单列呢？解题时要做到“先为不可胜而待敌之可胜” ，就要养成特情优先的良好习惯。

例5、某国际旅行社共有11名翻译人员，其中5人只会英语，4人只会日语，另有2人既会英语又会日语。现在从这11名翻译人员中选4人担任英语翻译，4人担任日语翻译，共有多少种不同的选派方法？

六、间接法优先的策略。间接法体现了思维的灵活性，所谓“间接法”有两层意思，一是从反面考虑问题，二是从侧面考虑问题。凡有关“至多、至少”问题，使用从反面考虑问题的间接法，一般都比较简便，这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显，在解有关排列组合问题上也是如此，原因是可以避免繁杂的分类讨论；此外， 解小题（填空题或者选择题），优先使用从侧面考虑问题的间接法，是赢得时间的重要策略，这里就不赘述了。

例6、ax²+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（   ）

A、0﹤a≤1。B、a﹤1。C、a≤1。D、0﹤a≤1或a﹤0。

【解析】：此题如果用直接法求解，花10分钟也未必解决得了。如果由选项看出，0和1是两个关键数字，以0代入，符合要求，排除A、D；再以1代入，得x=-1符合要求，所以选C。

七、易处优先的策略。解决任何问题，都不免会碰到困难，人们的一个策略就是先易后难，逐步解决。体现在对待数学问题的态度上，当然也是如此。数学解答题，常常是一设多问，难度逐渐加大，解答时候就应该遵循这个顺序，这本身就是一个“热身”的过程；另外，有些问题看起来比较复杂，我们可以先解答一个类似的但比较简单的问题，以期从中受到启发进而找到思路，这叫“稚化策略”。 至于解答一份完整的数学试卷，就更应该先易后难了。

例7、函数f（x）=︱x-i︱的最小值为（  ）

A、190     B、171    C、90       D、45    （06年全国卷Ⅱ，12）

【解析】：在解此题时，若你直觉足够好，能直接意识到取1~19的中间值（平均值）10时f（x）取到最小值，那当然就简单了；若你直觉欠好，可用“稚化策略”，先把问题稚化为求f（x）=︱x-i︱=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值，你就会豁然开朗了。