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推理与证明

要点梳理

1．合情推理主要包括               和                

2．合情推理的过程

      →→→

3. (1)归纳推理：由某类事物的          具有某些特征，推出该类事物的          都具有这些特征的推理，或者由          概括出          的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由     到     、由     到     的推理．

归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性．

(2)类比推理：由        具有某些类似特征和其中        的某些已知特征，推出          也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由           的推理．

类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；

B：具有属性a′，b′，c′；

结论：B具有属性d′. (a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)

4．演绎推理：从         的原理出发，推出某个          的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由       到       的推理．

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断

(2)“三段论”可以表示为

①大前提：M是P；

②小前提：S是M；

③结论：S是P.

用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.

5．直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的        ，最后推导出所要证明的结论    ，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．

(2)分析法

①定义：从            出发，逐步寻求使它成立的        ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：→→→…→.

6．间接证明

反证法：假设原命题      ，经过正确的推理，最后得出      ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有：①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难的问题．

复数

要点梳理

1．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的     和     . 若     ，则a＋bi为实数，若     ，则a＋bi为虚数，若        ，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔            (a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔                   (a，b，c，d∈R)．

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．    叫做实轴，     叫做虚轴．实轴上的点都表示    ；除原点外，虚轴上的点都表示      ；各象限内的点都表示         ．

(5)复数的模

向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作    或      ，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi (a，b∈R)           

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则

①加法：z₁＋z₂＝(a＋bi)＋(c＋di)＝               ；

②减法：z₁－z₂＝(a＋bi)－(c＋di)＝               ；

③乘法：z₁·z₂＝(a＋bi)·(c＋di)＝                  ；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z₁、z₂、z₃∈C，有z₁＋z₂＝         ，(z₁＋z₂)＋z₃＝           .