悖论——不能被忽略的教学资源宝库
悖论——不能被忽略的教学资源宝库
--浅谈数学悖论在数学教学中的教育价值及意义
远安县第一高级中学 廖星星 444200
“悖论（paradox）”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，它有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。在这点上，教材已经为我们做出了示范:人教A版教材必修2“探究与发现”就安排了“魔术师的地毯”这一悖论.
现在我们数学教学上最大的问题是学生觉得学习数学没有什么用处，而且枯燥无味，归根结底，是学生缺少真正想去弄懂问题的动力源。如果我们能够把历史上一些有趣的悖论应用于课堂教学，对提高学生研究数学的兴趣，以及培养他们看待事情的角度，价值观，都是有好处的。
案例1. -1=1的悖论(约翰 贝努利构造）
证明：在 两边同时取自然对数，根据对数的性质有2ln(-1）=ln1=0,
因此-1=
案例2.罗素等于教皇
据说大逻辑学家罗素告诉一位哲学家“假命题蕴涵任何命题”后，那位哲学家颇为震惊，他说：“难道你由2加2等于5能推出你是教皇？”罗素答曰：“正是。”哲学家问：“你能证明这一点么？”罗素答：“当然能。”
他立地发明了下面这个证明：
（1）假定2＋2＝5；
（2）由等式两侧减去2，得出2＝3；
（3）易位后得出3＝2；
（4）由两侧减去1，得出2＝1.
请看：教皇与我是二人。既然2等于1，教皇与我是一人。因此我是教皇。
点评：这2个例子的漏洞很容易看出来，而且案例1也可以有很多其他的构造，很多老师经常为学生在对方程，不等式变形的时候忘记一些前提条件而苦恼，老师可以用这2个例子来提醒学生，在使用运算法则时一定要注意应用的范围以及前提的正确性，不然就有可能得到错误甚至是荒谬的结果。
案例3.任何三角形都是等腰三角形的悖论 《数学游戏与欣赏》
如果三角形本来就等腰，结论自然成立，我们来看非等腰的情况：
（图1） （图2）
证明：作出 的平分线与BC的垂直平分线，则相交于O，过O作AB,AC的垂线OE与OF.
两直角三角形AOE与AOF,有公共边AO,且 ,因此两三角形全等，则有AE=AF,且OE=OF,而OB=OC，所以 与 全等，所以BE=CF.
因此，AB=AE+BE=AF+CF=AC，所以三角形等腰。
感悟：这个问题一开始也许会让很多同学陷入迷惑，此题和有名的“直角等于钝角的证明”以及教材上的“魔术师的地毯”的一样，都是由于图不准确带来的，通过这些例子，老师可以教育同学，平时画图时应注意准确，另一方面，尽管直观图有很大的用处，但是由直观得到的结论并不一定是可靠的，必须从理论上进行严格的证明。
案例4. 0.9999……=1？与“兔子永远也追不上乌龟”
第一个问题在可能小学老师就讲过，并且给出了证明： ……，两边同时乘以3，就可以得到 0.9999……=1，又或者是 ……，两边同时乘以9，同样可证。学生虽然接受这个结果，但是心里可能总是有点疙瘩，明明0.9999……比1差一点，怎么两个又相等呢？这个问题与著名的芝诺悖论有异曲同工之妙，我们不妨把芝诺悖论改编成龟兔赛跑的例子：
龟兔第二次赛跑，这时乌龟在兔子的前9米A处，兔子的速度是10m/s,乌龟的速度是 m/s，这样当兔子跑到A时，乌龟已经往前跑了一小段到了B处，而兔子到B处的时候，乌龟又往前到了C点……依次类推，两者的距离虽越来越近，但是兔子永远也追不上乌龟。
这时可以让同学研究现兔子每次到达A,B,C……所花的时间是0.9,0.09,0.009……其实和也就是0.9999……，虽然看起来是一个无穷的时间和，但是这看似无穷的时间和却是一个有限的值。也就是1。
点评：这2个例子是能引起学生广泛兴趣和讨论的问题，可以非常好的让学生感知极限概念，在学生最开始接触极限时如果能够用到这2个例子，应该可以取得很好的效果。
案例5. 平均速度永远也不可能变成原来的2倍？
某人以每小时5千米的速度去某地，而他希望把往返的平均速度提高到10千米每小时，那么他返回的速度是多少?15? 20？容易论证为了把平均速度提高一倍，返回的速度居然是无穷大.也就是不可能使平均速度变成原来的2倍。
点评：这是一个直觉失败的很好的例证，也是在教不等式的时候一个很好的例子。
案例6.墨菲法则
1949年，美国航空工程师墨菲说了一句很有名的话：“凡事只要有可能出岔子，肯定就会出岔子”。比如，在超市排队付款的时候，你常常后悔的发现你排错了队，别的队伍推进的速度都比你快，如果你住在一层楼的楼顶，每当你要下楼的时候，却发现电梯总是要上楼，很少有下楼的，在你着急的要等公交车的时候，你会发现平时不搭车的时候经常会看到你要等的车，而真正要乘它的时候却等不到……
其实冷静下来想，这是再自然不过的事情，首先我们来看第一个排队问题：假如一个超市有8台收银机，一般来说每条队伍长度是差不多的，在这种情况下，自己所选择的队伍前进的最快的概率是多少呢？显然是 ，也就是说别的队伍缩短更快的概率是 ，所以不出意外的话，不管选择那一条队伍，其结果都无非是看着别人先结算罢了，而对于电梯悖论其
实也差不多，如图（2）：电梯里只有顶端黑色区的电梯才需要下楼，与整个楼相比，比其他的区域要小的多，因此电梯从下往上的概率要大的多，同样道理，你平时不等车的时间肯定要比你等车的时间多的多，所以你平时看到的你要等的车的概率要大的多。
点评：后面2个例子都是绝佳设计概率题（几何概型）的模型，能让学生明白，原来数学其实时刻都在我们的生活中，并且可以得到数学之外的道理：墨菲法则不是一个揭示世界如何待人不公的法则，而且是一个时刻提醒人们反省自己是不是对这个世界要求太多，奢望太多的法则。
案例7.统计学中的悖论
1.常常听说，汽车事故多数发生在离家不远的地方，这是否就意味着在离家很远的公路上行车要比在城里安全些呢？不是，统计只不过反映了人们往往是在离家不远的地方开车，而很少在远处的公路上开车。
2.有一项研究表明其一个国家的人民，喝牛奶和死于癌症的比例都很高。这是否说明是牛奶引起癌症呢？不！这个国家老年人的比例也很高。由于癌症通常是年龄大的人易得，正是这个因素提高了这个国家癌症死亡者的比例。
3.一项研究表明在某个城市心力衰竭而死亡的人数和啤酒的消耗量都急剧升高。这是否表示喝啤酒会引起心脏病发作？不！两种情况的增加是人口迅速增加的结果。若按同样的理由，心脏病发作还可见归咎于上百个其他因素，如咖啡消耗量增加，嚼口香糖的人增多，玩桥牌更加盛行，更多的人看电视，等等。
点评：在讲统计学是如果开始能提及这些例子，势必会引起学生强烈的兴趣，上述例子也能启发学生找出其他一些统计论述的实例，证明统计学论述在联系到因果关系时很容易建成误解，老师甚至可以组织学生进行一些统计活动，让学生明白，生活中，统计无处不在，现代的广告，尤其是很多电视的商业广告正是以这种统计误解为其根基的，如果能学好统计，会对很多事情的原因有更深刻的认识。
其实，数学悖论王国里的资源是非常多的，只要我们稍作整理，很多都可以作为我们上课时的绝佳案例，比如在讲映射的时候可以给同学介绍：“偶数与自然数谁多”的悖论，在讲数列的时候可以提到“雪花曲线”和“谢尔宾斯基的几何图形”，在讲概率的时候可以提到著名的“赌金分配”问题，“汽车还是山羊”问题，在讲极限的时候可以提到芝诺悖论里的“飞矢不动”，在讲复数的时候可以类比到数学史上的第一次危机等等，通过对这些悖论的思考，学生可以加深对数学某些概念的理解，并对类似的错误产生免疫力，而且会有一种发自内心的想去弄清问题的愿望，正所谓：“数学的无穷无尽的魅力在于它在最棘手的悖论中能够盛开出美丽的理论之花。”
悖论——不能被忽略的教学资源宝库
--浅谈数学悖论在数学教学中的教育价值及意义
远安县第一高级中学 廖星星 444200
“悖论（paradox）”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，它有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。在这点上，教材已经为我们做出了示范:人教A版教材必修2“探究与发现”就安排了“魔术师的地毯”这一悖论.
现在我们数学教学上最大的问题是学生觉得学习数学没有什么用处，而且枯燥无味，归根结底，是学生缺少真正想去弄懂问题的动力源。如果我们能够把历史上一些有趣的悖论应用于课堂教学，对提高学生研究数学的兴趣，以及培养他们看待事情的角度，价值观，都是有好处的。
案例1. -1=1的悖论(约翰 贝努利构造）
证明：在 两边同时取自然对数，根据对数的性质有2ln(-1）=ln1=0,
因此-1=
案例2.罗素等于教皇
据说大逻辑学家罗素告诉一位哲学家“假命题蕴涵任何命题”后，那位哲学家颇为震惊，他说：“难道你由2加2等于5能推出你是教皇？”罗素答曰：“正是。”哲学家问：“你能证明这一点么？”罗素答：“当然能。”
他立地发明了下面这个证明：
（1）假定2＋2＝5；
（2）由等式两侧减去2，得出2＝3；
（3）易位后得出3＝2；
（4）由两侧减去1，得出2＝1.
请看：教皇与我是二人。既然2等于1，教皇与我是一人。因此我是教皇。
点评：这2个例子的漏洞很容易看出来，而且案例1也可以有很多其他的构造，很多老师经常为学生在对方程，不等式变形的时候忘记一些前提条件而苦恼，老师可以用这2个例子来提醒学生，在使用运算法则时一定要注意应用的范围以及前提的正确性，不然就有可能得到错误甚至是荒谬的结果。
案例3.任何三角形都是等腰三角形的悖论 《数学游戏与欣赏》
如果三角形本来就等腰，结论自然成立，我们来看非等腰的情况：
（图1） （图2）
证明：作出 的平分线与BC的垂直平分线，则相交于O，过O作AB,AC的垂线OE与OF.
两直角三角形AOE与AOF,有公共边AO,且 ,因此两三角形全等，则有AE=AF,且OE=OF,而OB=OC，所以 与 全等，所以BE=CF.
因此，AB=AE+BE=AF+CF=AC，所以三角形等腰。
感悟：这个问题一开始也许会让很多同学陷入迷惑，此题和有名的“直角等于钝角的证明”以及教材上的“魔术师的地毯”的一样，都是由于图不准确带来的，通过这些例子，老师可以教育同学，平时画图时应注意准确，另一方面，尽管直观图有很大的用处，但是由直观得到的结论并不一定是可靠的，必须从理论上进行严格的证明。
案例4. 0.9999……=1？与“兔子永远也追不上乌龟”
第一个问题在可能小学老师就讲过，并且给出了证明： ……，两边同时乘以3，就可以得到 0.9999……=1，又或者是 ……，两边同时乘以9，同样可证。学生虽然接受这个结果，但是心里可能总是有点疙瘩，明明0.9999……比1差一点，怎么两个又相等呢？这个问题与著名的芝诺悖论有异曲同工之妙，我们不妨把芝诺悖论改编成龟兔赛跑的例子：
龟兔第二次赛跑，这时乌龟在兔子的前9米A处，兔子的速度是10m/s,乌龟的速度是 m/s，这样当兔子跑到A时，乌龟已经往前跑了一小段到了B处，而兔子到B处的时候，乌龟又往前到了C点……依次类推，两者的距离虽越来越近，但是兔子永远也追不上乌龟。
这时可以让同学研究现兔子每次到达A,B,C……所花的时间是0.9,0.09,0.009……其实和也就是0.9999……，虽然看起来是一个无穷的时间和，但是这看似无穷的时间和却是一个有限的值。也就是1。
点评：这2个例子是能引起学生广泛兴趣和讨论的问题，可以非常好的让学生感知极限概念，在学生最开始接触极限时如果能够用到这2个例子，应该可以取得很好的效果。
案例5. 平均速度永远也不可能变成原来的2倍？
某人以每小时5千米的速度去某地，而他希望把往返的平均速度提高到10千米每小时，那么他返回的速度是多少?15? 20？容易论证为了把平均速度提高一倍，返回的速度居然是无穷大.也就是不可能使平均速度变成原来的2倍。
点评：这是一个直觉失败的很好的例证，也是在教不等式的时候一个很好的例子。
案例6.墨菲法则
1949年，美国航空工程师墨菲说了一句很有名的话：“凡事只要有可能出岔子，肯定就会出岔子”。比如，在超市排队付款的时候，你常常后悔的发现你排错了队，别的队伍推进的速度都比你快，如果你住在一层楼的楼顶，每当你要下楼的时候，却发现电梯总是要上楼，很少有下楼的，在你着急的要等公交车的时候，你会发现平时不搭车的时候经常会看到你要等的车，而真正要乘它的时候却等不到……
其实冷静下来想，这是再自然不过的事情，首先我们来看第一个排队问题：假如一个超市有8台收银机，一般来说每条队伍长度是差不多的，在这种情况下，自己所选择的队伍前进的最快的概率是多少呢？显然是 ，也就是说别的队伍缩短更快的概率是 ，所以不出意外的话，不管选择那一条队伍，其结果都无非是看着别人先结算罢了，而对于电梯悖论其
实也差不多，如图（2）：电梯里只有顶端黑色区的电梯才需要下楼，与整个楼相比，比其他的区域要小的多，因此电梯从下往上的概率要大的多，同样道理，你平时不等车的时间肯定要比你等车的时间多的多，所以你平时看到的你要等的车的概率要大的多。
点评：后面2个例子都是绝佳设计概率题（几何概型）的模型，能让学生明白，原来数学其实时刻都在我们的生活中，并且可以得到数学之外的道理：墨菲法则不是一个揭示世界如何待人不公的法则，而且是一个时刻提醒人们反省自己是不是对这个世界要求太多，奢望太多的法则。
案例7.统计学中的悖论
1.常常听说，汽车事故多数发生在离家不远的地方，这是否就意味着在离家很远的公路上行车要比在城里安全些呢？不是，统计只不过反映了人们往往是在离家不远的地方开车，而很少在远处的公路上开车。
2.有一项研究表明其一个国家的人民，喝牛奶和死于癌症的比例都很高。这是否说明是牛奶引起癌症呢？不！这个国家老年人的比例也很高。由于癌症通常是年龄大的人易得，正是这个因素提高了这个国家癌症死亡者的比例。
3.一项研究表明在某个城市心力衰竭而死亡的人数和啤酒的消耗量都急剧升高。这是否表示喝啤酒会引起心脏病发作？不！两种情况的增加是人口迅速增加的结果。若按同样的理由，心脏病发作还可见归咎于上百个其他因素，如咖啡消耗量增加，嚼口香糖的人增多，玩桥牌更加盛行，更多的人看电视，等等。
点评：在讲统计学是如果开始能提及这些例子，势必会引起学生强烈的兴趣，上述例子也能启发学生找出其他一些统计论述的实例，证明统计学论述在联系到因果关系时很容易建成误解，老师甚至可以组织学生进行一些统计活动，让学生明白，生活中，统计无处不在，现代的广告，尤其是很多电视的商业广告正是以这种统计误解为其根基的，如果能学好统计，会对很多事情的原因有更深刻的认识。
其实，数学悖论王国里的资源是非常多的，只要我们稍作整理，很多都可以作为我们上课时的绝佳案例，比如在讲映射的时候可以给同学介绍：“偶数与自然数谁多”的悖论，在讲数列的时候可以提到“雪花曲线”和“谢尔宾斯基的几何图形”，在讲概率的时候可以提到著名的“赌金分配”问题，“汽车还是山羊”问题，在讲极限的时候可以提到芝诺悖论里的“飞矢不动”，在讲复数的时候可以类比到数学史上的第一次危机等等，通过对这些悖论的思考，学生可以加深对数学某些概念的理解，并对类似的错误产生免疫力，而且会有一种发自内心的想去弄清问题的愿望，正所谓：“数学的无穷无尽的魅力在于它在最棘手的悖论中能够盛开出美丽的理论之花。”
悖论——不能被忽略的教学资源宝库
--浅谈数学悖论在数学教学中的教育价值及意义
远安县第一高级中学 廖星星 444200
“悖论（paradox）”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，它有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。在这点上，教材已经为我们做出了示范:人教A版教材必修2“探究与发现”就安排了“魔术师的地毯”这一悖论.
现在我们数学教学上最大的问题是学生觉得学习数学没有什么用处，而且枯燥无味，归根结底，是学生缺少真正想去弄懂问题的动力源。如果我们能够把历史上一些有趣的悖论应用于课堂教学，对提高学生研究数学的兴趣，以及培养他们看待事情的角度，价值观，都是有好处的。
案例1. -1=1的悖论(约翰 贝努利构造）
证明：在 两边同时取自然对数，根据对数的性质有2ln(-1）=ln1=0,
因此-1=
案例2.罗素等于教皇
据说大逻辑学家罗素告诉一位哲学家“假命题蕴涵任何命题”后，那位哲学家颇为震惊，他说：“难道你由2加2等于5能推出你是教皇？”罗素答曰：“正是。”哲学家问：“你能证明这一点么？”罗素答：“当然能。”
他立地发明了下面这个证明：
（1）假定2＋2＝5；
（2）由等式两侧减去2，得出2＝3；
（3）易位后得出3＝2；
（4）由两侧减去1，得出2＝1.
请看：教皇与我是二人。既然2等于1，教皇与我是一人。因此我是教皇。
点评：这2个例子的漏洞很容易看出来，而且案例1也可以有很多其他的构造，很多老师经常为学生在对方程，不等式变形的时候忘记一些前提条件而苦恼，老师可以用这2个例子来提醒学生，在使用运算法则时一定要注意应用的范围以及前提的正确性，不然就有可能得到错误甚至是荒谬的结果。
案例3.任何三角形都是等腰三角形的悖论 《数学游戏与欣赏》
如果三角形本来就等腰，结论自然成立，我们来看非等腰的情况：
（图1） （图2）
证明：作出 的平分线与BC的垂直平分线，则相交于O，过O作AB,AC的垂线OE与OF.
两直角三角形AOE与AOF,有公共边AO,且 ,因此两三角形全等，则有AE=AF,且OE=OF,而OB=OC，所以 与 全等，所以BE=CF.
因此，AB=AE+BE=AF+CF=AC，所以三角形等腰。
感悟：这个问题一开始也许会让很多同学陷入迷惑，此题和有名的“直角等于钝角的证明”以及教材上的“魔术师的地毯”的一样，都是由于图不准确带来的，通过这些例子，老师可以教育同学，平时画图时应注意准确，另一方面，尽管直观图有很大的用处，但是由直观得到的结论并不一定是可靠的，必须从理论上进行严格的证明。
案例4. 0.9999……=1？与“兔子永远也追不上乌龟”
第一个问题在可能小学老师就讲过，并且给出了证明： ……，两边同时乘以3，就可以得到 0.9999……=1，又或者是 ……，两边同时乘以9，同样可证。学生虽然接受这个结果，但是心里可能总是有点疙瘩，明明0.9999……比1差一点，怎么两个又相等呢？这个问题与著名的芝诺悖论有异曲同工之妙，我们不妨把芝诺悖论改编成龟兔赛跑的例子：
龟兔第二次赛跑，这时乌龟在兔子的前9米A处，兔子的速度是10m/s,乌龟的速度是 m/s，这样当兔子跑到A时，乌龟已经往前跑了一小段到了B处，而兔子到B处的时候，乌龟又往前到了C点……依次类推，两者的距离虽越来越近，但是兔子永远也追不上乌龟。
这时可以让同学研究现兔子每次到达A,B,C……所花的时间是0.9,0.09,0.009……其实和也就是0.9999……，虽然看起来是一个无穷的时间和，但是这看似无穷的时间和却是一个有限的值。也就是1。
点评：这2个例子是能引起学生广泛兴趣和讨论的问题，可以非常好的让学生感知极限概念，在学生最开始接触极限时如果能够用到这2个例子，应该可以取得很好的效果。
案例5. 平均速度永远也不可能变成原来的2倍？
某人以每小时5千米的速度去某地，而他希望把往返的平均速度提高到10千米每小时，那么他返回的速度是多少?15? 20？容易论证为了把平均速度提高一倍，返回的速度居然是无穷大.也就是不可能使平均速度变成原来的2倍。
点评：这是一个直觉失败的很好的例证，也是在教不等式的时候一个很好的例子。
案例6.墨菲法则
1949年，美国航空工程师墨菲说了一句很有名的话：“凡事只要有可能出岔子，肯定就会出岔子”。比如，在超市排队付款的时候，你常常后悔的发现你排错了队，别的队伍推进的速度都比你快，如果你住在一层楼的楼顶，每当你要下楼的时候，却发现电梯总是要上楼，很少有下楼的，在你着急的要等公交车的时候，你会发现平时不搭车的时候经常会看到你要等的车，而真正要乘它的时候却等不到……
其实冷静下来想，这是再自然不过的事情，首先我们来看第一个排队问题：假如一个超市有8台收银机，一般来说每条队伍长度是差不多的，在这种情况下，自己所选择的队伍前进的最快的概率是多少呢？显然是 ，也就是说别的队伍缩短更快的概率是 ，所以不出意外的话，不管选择那一条队伍，其结果都无非是看着别人先结算罢了，而对于电梯悖论其
实也差不多，如图（2）：电梯里只有顶端黑色区的电梯才需要下楼，与整个楼相比，比其他的区域要小的多，因此电梯从下往上的概率要大的多，同样道理，你平时不等车的时间肯定要比你等车的时间多的多，所以你平时看到的你要等的车的概率要大的多。
点评：后面2个例子都是绝佳设计概率题（几何概型）的模型，能让学生明白，原来数学其实时刻都在我们的生活中，并且可以得到数学之外的道理：墨菲法则不是一个揭示世界如何待人不公的法则，而且是一个时刻提醒人们反省自己是不是对这个世界要求太多，奢望太多的法则。
案例7.统计学中的悖论
1.常常听说，汽车事故多数发生在离家不远的地方，这是否就意味着在离家很远的公路上行车要比在城里安全些呢？不是，统计只不过反映了人们往往是在离家不远的地方开车，而很少在远处的公路上开车。
2.有一项研究表明其一个国家的人民，喝牛奶和死于癌症的比例都很高。这是否说明是牛奶引起癌症呢？不！这个国家老年人的比例也很高。由于癌症通常是年龄大的人易得，正是这个因素提高了这个国家癌症死亡者的比例。
3.一项研究表明在某个城市心力衰竭而死亡的人数和啤酒的消耗量都急剧升高。这是否表示喝啤酒会引起心脏病发作？不！两种情况的增加是人口迅速增加的结果。若按同样的理由，心脏病发作还可见归咎于上百个其他因素，如咖啡消耗量增加，嚼口香糖的人增多，玩桥牌更加盛行，更多的人看电视，等等。
点评：在讲统计学是如果开始能提及这些例子，势必会引起学生强烈的兴趣，上述例子也能启发学生找出其他一些统计论述的实例，证明统计学论述在联系到因果关系时很容易建成误解，老师甚至可以组织学生进行一些统计活动，让学生明白，生活中，统计无处不在，现代的广告，尤其是很多电视的商业广告正是以这种统计误解为其根基的，如果能学好统计，会对很多事情的原因有更深刻的认识。
其实，数学悖论王国里的资源是非常多的，只要我们稍作整理，很多都可以作为我们上课时的绝佳案例，比如在讲映射的时候可以给同学介绍：“偶数与自然数谁多”的悖论，在讲数列的时候可以提到“雪花曲线”和“谢尔宾斯基的几何图形”，在讲概率的时候可以提到著名的“赌金分配”问题，“汽车还是山羊”问题，在讲极限的时候可以提到芝诺悖论里的“飞矢不动”，在讲复数的时候可以类比到数学史上的第一次危机等等，通过对这些悖论的思考，学生可以加深对数学某些概念的理解，并对类似的错误产生免疫力，而且会有一种发自内心的想去弄清问题的愿望，正所谓：“数学的无穷无尽的魅力在于它在最棘手的悖论中能够盛开出美丽的理论之花。”
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