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一个小的问题引发数学的内在力量

                             远安一高  张敏

   数学学科的最大用处是育人，它不仅能培养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼学生的心智、培育理性精神上也是不可替代的。

    在必修一函数单调性教学中，由于函数的单调性是函数的重要性质，是函数概念的延续和拓展，如果仅从图像角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难，但要把具体的、形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述，学生感到困难。如何从学生的最近发展区入手，上好单调性的起始课。通过集体研讨，我们将本节课的目标设计为：1. 理解函数的单调性的概念；2. 会运用定义判断或证明函数在某区间上的单调性；3. 学习利用图象研究函数性质的方法以及从特殊到一般的思维方法。  重点是判断或证明函数在某区间上的单调性；难点是单调性定义的理解及证明.

通过自学--问题--互学环节，学生们基本达成了上述目标。其中关于生成“函数单调性概念”的问题3的探讨给了我一些启发。

问题3：下图是函数 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

问题3的设计意图是让学生无法直接看出单调区间，必须用单调性定义来寻找单调区间。从而深刻理解函数单调性的定义。但学生却给了我们很多的惊喜：

• 一个学生将原函数变形为

     因此他得到当 取 时， 的最小值为 ，再根据图像，从而得到函数在 上是减函数，在区间 上是增函数。

点评：该生没有根据单调区间的定义来求出单调区间，而是从原函数出发将其变形化简，得到一个配方式加一个常数，不仅求出了 是取 时取得最小值，而且这个最小值也清晰的从原函数的解析式中显示出来。

• 另一个同学将原函数拆分为两个函数 和 ，她将两个函数的图像画出来，求出两个函数图像的交点是 ，然后她发现函数 是一直递增的，函数 是一直递减的，但 一直是匀速递增，而 递减的趋势越来越慢，从而她判断出在原函数 的最小值在 处取得，且在 上是减函数，在区间 上是增函数。

点评:首先，该生将原函数拆分为两个函数，研究两个函数图像的变化规律，虽然在她现有的知识基础上，她还不能将这种变化规律用数学符号表示出来，但她充分利用数形结合思想来解决问题，值得表扬。但是，对于这个交点为什么是最小值点，她给出的理由还是不够充分，带点猜测，所以，老师在她建立的模型的的基础上，引出了下面的解法：

将原函数拆分为两个函数后，将函数 的图像沿y轴对折，得到 的图像，从而，从图像来看，原函数的值就是过 上的点做 轴的平行线与 上的交点的距离，由图可清晰的看出，这个距离的最小值是点B到点A的距离。从而当 时，原函数有最小值，从而得到函数在 上是减函数，在区间 上是增函数。

三、还有一个学生说，他作了图，发现函数 图像随着 增大，会无限的趋近于直线 ，他又根据反比例函数 是关于直线 对称的，从而他猜测函数 也是关于一条直线对称的。

   点评：该生虽然只是一种猜测，但同样值得鼓励，因为他善于观察，发现直线 是其渐近线。观察--发现--猜想--验证是重要的数学方法。

    这一节课早已结束，但学生们勤于思考、思维交锋的质疑场面已经深深植入我的脑海。在学生学习过程中，善于引导，激发其数学思维，感受数学的内在力量和数学的美，是我们教师的责任。

    章建跃教授说：数学教学要善于“取势”。“势”是方向，“取势”是“顺势而为”。回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，实现数学育人的目标，这就是大势所趋。具体而言，就是要为学生的终生发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心，使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中，成为善于认识问题、解决问题的人才。