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《方程的根与函数的零点》案例分析

远安一高    廖星星

一.教材分析

本节课内容是在学习了函数的概念和基本初等函数的大背景下展开的，同时又是方程的根的分布问题与第二节二分法的理论基础，可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节非常重要。

二．教学目标分析

认知目标：

结合二次函数的图象，理解零点的定义及方程的根与函数的零点的等价关系，学会判断函数零点的存在性及零点的个数

能力目标：

　培养学生自主发现、探究实践的能力．

情感目标：

　在函数与方程的联系中体验数学转化与化归思想、数形结合思想和函数与方程思想的意义和价值.。数学思想是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个学生在今后的学习中体会，感悟，应用，升华！

三.教学重难点分析

教学重点：了解函数的零点与方程的根之间的联系，掌握函数零点存在的判定条件

教学难点：探究发现函数零点的存在性.

四.学情分析

学生已经学习了函数的概念，对基本初等函数的图像和性质已经有了一个比较系统的认识与理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的知识出发，从学生熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。

五．教法分析

在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本节课的重难点。

在教学手段上，我一是采取多媒体课件，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣．二是配以我校特色的导学案，它能带动学生激活思维，还能记录学生整堂课的思维过程．

六．教学过程

为了达到突出重点，突破难点的目的，在教学过程上，我设置了六个环节：

（一）创设情境，引入新课

引例：判断下列方程是否有根：

【设计意图】由学生熟悉的方程推进到一个不易求解的方程，造成学生的认知冲突，引发学生的兴趣，激发学生的求知欲望。

（二）启发引导，形成概念

问题1  求下列方程的根：

问题2  分别作出下列函数的图形，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？

【设计意图】问题1与问题2旨在让学生观察分析得到方程的根就是对应函数与x轴的交点的横坐标，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系．

问题3  上述关系对于一般的一元二次方程 及其相应的二次函数 是否也成立呢？

【设计意图】从问题1、2到问题3，由特殊到一般，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供了思考、创造、表现和成功的舞台．引出函数零点的定义及方程的根、函数的零点和函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间的等价关系．同时也能培养学生的归纳概括能力．

（三）．探究新知，得出结论

问题4：函数 在某个区间上是否一定有零点？在怎样的条件下函数 才有零点？

师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图 A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：

    ．A

 a                              b                                         l

．B

生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交。

师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间 (a，b) 内。

生：观察下面函数f（x）＝0的图象并回答

①区间[a，b]上______(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）。

②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）。

③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）。

师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。

生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论）

结论：

如果函数在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，且满足f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a、b）内有零点，即存在c∈(a、b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

【设计意图】：1 培养学生的观察及归纳能力。2.培养学生的数形结合思想

强调函数零点存在定理的三个注意点：

                 1 函数图象是连续的。

                 2 定理不可逆。

                 3 至少存在一个零点。

探究3：函数要满足什么条件在区间［a，b］上只有一个有零点？

观察如下两个函数图象：

结论.

函数在区间［a，b］上的图象是单调连续的，且满足f(a).f(b)<0，则函数在区间［a，b］只有一个零点。

（四）新知应用，练习巩固

例1：求下列函数的零点：   

【设计意图】 巩固函数零点的定义。

例2：求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。

【设计意图】解决引例问题并使学生熟悉函数零点存在性定理的应用。

练习1：判断下列函数是否有零点，并指出零点所在的大致区间。

【设计意图】使学生进一步熟练运用函数零点存在性定理，且在找零点所在的大致区间时发现区间不是唯一的，为下节课二分法求方程的近似解奠定基础。

（五）．课堂小结

你通过本节课的学习，有什么收获？

（1）一个概念     （2）三个等价关系

（3）一个定理     （4）三种思想：函数与方程思想，化归思想，数形结合思想；

（5）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．

【设计意图】引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。

（六）．作业设计

1．教材P92习题3．1（A组）第2题；

2．求函数　 　的零点个数，并指出其零点所在的大致区间

【设计意图】围绕课堂的重点，布置作业，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间．

七．教学反思

一．如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程

二.  本节课涉及多种数学思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题.

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