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数学能力提升课堂——培优小灶

第六节抽象函数

函数是中学数学的一条主线，函数的思想方法贯穿中学数学的始终。抽象函数问题,就是函数解析式在问题条件中不具体给定，题目条件只是描述一些与函数有关的性质，或者给出函数方程。函数方程就是关于函数的方程，它当然也可以被看做关于自变量的方程，但视为关于函数整体的方程则容易根据方程得出函数的性质，本节着重解决函数方程问题。我们需知道，抽象函数不是命题者凭空可以捏造的——否则会出问题——谨慎而负责的命题者一般会根据几个具体的函数来构造函数方程。

下面是一些函数方程的具体函数模型：

类型1.赋值法求函数值

例1.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意实数m、n都满足f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

（1）求f（0），f(1)和f（{C}<!--[if gte mso 9]>　 　）的值；

（2）请写出一个满足条件的函数f（x）表达式.

类型2.换元法判别奇偶性

例2.已知函数y=f（x）对任意x、y{C}<!--[if gte mso 9]>　 　都有{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

（1）求f（0）的值；

（2）探究y=f（x）的奇偶性并证明。

类型3.配凑法确定单调性

例3.已知函数y=f(x)对任意非零实数x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)。

（1）求f（1）和f（-1）的值；

（2）判断并证明f（x）的奇偶性；

（3）若x > 1,f (x) > 0,求证：f（x）在（0，+{C}<!--[if gte mso 9]>　 　）单调递增.

类型4.利用特殊点的函数值和单调性解不等式

例4.已知值恒正的函数y=f(x)对任意x、y{C}<!--[if gte mso 9]>　 　都有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0 时，有f（x）>1.

（1）求证：f（x）在R上单调递增；

（2）若f（2）=9，解关于x的不等式{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

练习：

1.已知y ={C}<!--[if gte mso 9]>　 　是{C}<!--[if gte mso 9]>　 　上的增函数，且对任意{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，都有{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，求{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

2.已知函数y ={C}<!--[if gte mso 9]>　 　对任意的实数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，均满足{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，且{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，求{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

3.已知函数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　的定义域为{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，且对定义域内的任意{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，都有{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，且当{C}<!--[if gte mso 9]>　 　时，{C}<!--[if gte mso 9]>　 　。求证：{C}<!--[if gte mso 9]>　 　在{C}<!--[if gte mso 9]>　 　上是增函数.

4.函数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　对任意的实数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，有{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，且当{C}<!--[if gte mso 9]>　 　时有{C}<!--[if gte mso 9]>　 　。

（1）求证：{C}<!--[if gte mso 9]>　 　在{C}<!--[if gte mso 9]>　 　单调递增；

（2）若{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，求函数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　在区间{C}<!--[if gte mso 9]>　 　的值域；

（3）若{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，解不等式{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

5.已知偶函数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　在{C}<!--[if gte mso 9]>　 　上单调递增，解关于x的不等式{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

6.已知函数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，求不等式{C}<!--[if gte mso 9]>　 　的解集.

7.已知函数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　分别为定义在{C}<!--[if gte mso 9]>　 　上的奇函数和偶函数，且{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，求{C}<!--[if gte mso 9]>　 　及{C}<!--[if gte mso 9]>　 　.

8.函数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　是{C}<!--[if gte mso 9]>　 　上的奇函数，且当{C}<!--[if gte mso 9]>　 　时，{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，若对任意的{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，不等式{C}<!--[if gte mso 9]>　 　恒成立，求实数{C}<!--[if gte mso 9]>　 　的取值范围.

9.已知函数f(x)的定义域为R，{C}<!--[if gte mso 9]>　 　若对任意的实数m、n都有{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，且当x ><!--[if gte mso 9]>　 　时有f（x）> 0恒成立.

（1）求证：f（x）是R上的增函数；

（2）若{C}<!--[if gte mso 9]>　 　，求实数t的取值范围.