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数学方法在高考物理中的应用

高考物理考试大纲中明确要求考生要具备应用数学方法处理物理问题的能力，即“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”．

应用数学方法处理物理问题的能力具体要求为：

(1)能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系式，能把有关的物理条件用数学方程表示出来．

(2)在解决物理问题时，往往需要经过数学推导和求解，或进行数值计算；求得结果后，有时还要用图像或函数关系把它表示出来；必要时还应对数学运算的结果做出物理上的解释．

(3)能够运用几何图形、函数图像解决物理问题，要能够对物理规律、状态和过程在理解的基础上用合适的图像表示出来，会用图像来处理物理问题．

解高中物理题时常用的数学思想方法包括几何法、函数法、比值法、图解法、极值法、微元法、归纳法、极限分析法、分类讨论法等，经常要用到的数学知识包括平面几何、函数图像、解三角形、不等式、数列、微积分初步等．

考法一　  平面几何知识及其应用

物理试题通常都配有一个与真实的物理情境相对应的示意图形，在对研究对象进行受力分析、描画轨迹、分解速度、描绘光路时，会形成各种各样的几何形状，分析求解时经常要用到平面几何知识．

考向1　相似三角形知识及其应用

在共点力平衡问题、运动的合成和分解、电磁场的合成和分解以及几何光学等物理情境中，常会出现力三角形、速度三角形、位移三角形等矢量三角形和结构(长度)三角形相似的情况，准确作图、仔细观察、灵活选用相似三角形的边角关系是解题的关键．

相似三角形的一些性质：①对应角相等；②对应边成比例；③对应的垂线、中线、角平分线成比例．

考向2　圆的几何知识及其应用

圆是平面几何中的一个重要概念，也是物理情境中最常见的几何图形，在物理情境中常以运动轨迹、范围边界、对象特征、装置结构等形式呈现．凡涉及圆的物理情境，分析问题时通常都要用到圆的几何知识．

        与圆有关的几何知识主要包括：

①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧；

②直径所对的圆周角是直角；

③同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对圆心角的一半；

④相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等；

⑤圆的函数方程：(x－a)²＋(y－b)²＝r²是以点(a，b)为圆心、r为半径的圆．

考法二　　正(余)弦定理及其应用

三角函数、正(余)弦定理反映了三角形边与角之间的定量关系．物理量在合成或分解时会构成矢量三角形，若为直角三角形，可直接用三角函数或勾股定理分析计算，若为斜三角形，则通常要用到正(余)弦定理分析求解．

考法三　　利用数学方法求极值

分析求解物理量在某物理过程中的极大值或极小值是很常见的物理问题，这类问题的数学解法有很多，主要有：三角函数极值法、二次函数极值法、不等式极值法、图像法等．

考向1　利用三角函数求极值

(1)二倍角公式法：如果所求物理量的表达式可以化成y＝Asin θcos θ，则根据二倍角公式，有y＝<!--[if supportFields]>eq \f(A,2)sin 2θ，当θ＝45°时，y有最大值，y_max＝<!--[if supportFields]>eq \f(A,2).

(2)和差角公式法：如果所求物理量的表达式为y＝asin θ＋bcos θ，通过和差角公式转化为y＝<!--[if supportFields]>eq \r(a²＋b²)sin(θ＋φ)，当θ＋φ＝90°时，y有最大值y_max＝<!--[if supportFields]>eq \r(a²＋b²).

考向2　利用二次函数求极值

二次函数y＝ax²＋bx＋c(a、b、c为常数且a≠0)，当x＝－<!--[if supportFields]>eq \f(b,2a)y有极值y_m＝<!--[if supportFields]>eq \f(4ac－b²,4a)(a>0时，y_m为极小值；a<0时，y_m为极大值)．

考向3　利用均值不等式求极值

         对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值，则当a＝b时，其积ab有极大值；若其积ab为一定值，则当a＝b时，其和a＋b有极小值

考法四　　函数图像及其应用

每一个物理过程都遵循一定的物理规律，每一个物理规律都可以表示为一种函数关系，每一个函数关系都可以描绘成一个函数图像，通过图像的几何(数学)特征可以把物理量之间的相互依赖关系、周期变化特征等复杂物理过程直观地展现出来．这种数形结合的思想正是高考能力考查的重点．

       高中阶段物理量间的函数关系主要有一次函数、二次函数、正(反)比例函数、三角函数等，图像形状主要有直线、双曲线、抛物线、正余弦曲线等，如下表所示：

无论什么图像，首先要弄清楚图像的“身份”，即图像本身的含义和图像所表明的数学函数关系．其次要弄清楚图像中“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等几何量对应的物理意义．

(1)轴：首先要注意两个坐标轴表示的物理量及单位，注意坐标原点是否从零开始，注意物理量的正负．

(2)点：图线上的每一个点对应一个状态，要特别注意起点、终点、交点、拐点所对应的特殊状态．起点和终点通常表示物理过程的初、末状态，交点往往表示不同对象达到的某一共同状态，而拐点则是物理过程的转折状态或临界状态，是解题的关键点和突破口．

(3)线：表示研究对象经历的过程和遵循的规律．

(4)斜率：表示纵坐标对横坐标的变化率，即k＝<!--[if supportFields]>eq \f(Δy,Δx)(一般不用于计算)．斜率的大小表示所对应物理量的大小，斜率的正负表示所对应物理量(矢量)的方向，若物理量是标量，斜率的负值没有实际意义，分析问题时应取其绝对值．

(5)截距：表示横、纵坐标在“边界”条件下的物理量．

(6)面积：表示横、纵坐标轴所代表的物理量的乘积，坐标轴含义不同，面积的含义也不相同．如v­t图像中的面积表示位移的大小和方向，F­s和P­t图像中的面积均表示功的大小和正负，F­t图像中的面积表示冲量的大小和方向等．

(7)其他几何特征：图像的重复性反映物理过程的周期性，图像的转折对应物理过程的转变(突变)，图像的极大值表示物理量变化的范围等．

考法五　　数列及数学归纳法

数列是高中数学的一个重点，日常生活中的很多实际问题都可以转化为数列知识进行求解，物理情境中也有很多问题与数列有关．某一复杂物理过程中如果同一物理情境重复出现，往往会涉及数学归纳法和数列知识的应用．

        高中物理涉及的数列知识主要有等差数列、等比数列、通项公式和前n项和公式等．解题的      基本思路分三步：第一步，逐个分析开始阶段的几个物理过程；第二步，利用数学归纳法寻找变化物理量的通项公式；第三步，应用数列知识分析求解．

考法六　　微积分初步及其应用

微积分知识已引入高中数学教材，并纳入到高考数学必考范围．考生在高二时已学习相关知识，为解决物理问题提供了重要的思想方法和数学工具．现行高中物理教材中很多地方都涉及微分和积分的思想方法．尽管现行高中物理教材和考试大纲并未将微积分作为一种必须掌握的解决物理问题的数学方法，但在高三物理复习阶段，可尝试引入微积分知识来加深对物理概念的理解和解决疑难物理问题．

考向1　导数及其应用

很多物理量都可以定义为一个物理量对另一个物理量的变化率，而导数就是一个量对另一个量变化率的极限，如速度是位移对时间的变化率、加速度是速度对时间的变化率、电流是电荷量对时间的变化率、感应电动势正比于磁通量对时间的变化率等．

考向2　微元法及其应用

如果某物理过程中有一不断变化的物理量，可以试着把这个物理过程分割为无数多个很小的过程，即所谓的微元，在每个很小的过程中这个变化的物理量近似是不变的，然后在每一小段中求出这个物理量对时间或位移等的积累，再对这些积累量进行求和，就可以得到这个物理量在整个过程中对时间或位移等的积累．