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2.1.1　曲线与方程

[学习目标]　1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.

知识点　曲线的方程、方程的曲线

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

[思考]　(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明.

(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x₀，y₀)在曲线C上的充要条件是什么？

答案　(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界.如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆.

(2)若点P在曲线C上，则f(x₀，y₀)＝0；若f(x₀，y₀)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x₀，y₀)在曲线C上的充要条件是f(x₀，y₀)＝0.

题型一　曲线与方程的概念

例1　(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)

A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0

B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0

D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0

答案　C

(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；

②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.

解　①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.

②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.

反思与感悟　判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：

一是检验点的坐标是否适合方程；

二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.

跟踪训练1　判断下列命题是否正确.

(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y＝；

(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.

解　(1)不正确.设(x₀，y₀)是方程y＝的解，则y₀＝0(2)，即x0(2)＋y0(2)＝r².两边开平方取算术平方根，得0(2)＝r即点(x₀，y₀)到原点的距离等于r，点(x₀，y₀)是这个圆上的点.因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点(2(r)，－2(3)r)在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解.所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y＝，而应是y＝�.

(2)不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解.然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.

题型二　由方程判断其表示的曲线

例2　方程(2x＋3y－5)(－1)＝0表示的曲线是什么？

解　因为(2x＋3y－5)(－1)＝0，

所以可得x－3≥0，(2x＋3y－5＝0，)或者－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)一条直线x＝4.

反思与感悟　判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.

跟踪训练2　“(2x＋3y－5)[log₂(x＋2y)－3]＝0”，其表示什么曲线？

解　因为(2x＋3y－5)[log₂(x＋2y)－3]＝0，

所以可得x＋2y>0，(2x＋3y－5＝0，)或者x＋2y＝8，即2x＋3y－5＝0(x<10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x<10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.

题型三　曲线与方程关系的应用

例3　若曲线y²－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围.

解　∵曲线y²－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，

∴a²＋a²＋2a＋k＝0.

∴k＝－2a²－2a＝－2(a＋2(1))²＋2(1).

∴k≤2(1)，∴k的取值范围是(－∞，2(1)].

反思与感悟　(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.

(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.

跟踪训练3　(1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(　　)

A.a>1   .0<a<1

C.0<a<1或a>1   .a∈∅

答案　A

解析　∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.

(2)已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求b的取值范围.

解　由方程组，(y＝x＋b，)

得x2＋y2＝1(y≥0).(y＝x＋b，)

消去x，得到2y²－2by＋b²－1＝0(y≥0).

l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，

可得≥0，(b2－1)

解得1≤b<.

所以b的取值范围为[1，).

1.“点M在曲线y²＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案　B

解析　∵y＝－2≤0，而y²＝4x中y可正可负，

∴点M在曲线y²＝4x上时，点M不一定在y＝－2上.

反之，点M在y＝－2上时，点M一定在y²＝4x上.

2.方程(x²－4)²＋(y²－4)²＝0表示的图形是(　　)

A.两个点 B.四个点

C.两条直线 D.四条直线

答案　B

解析　由已知得y2－4＝0，(x2－4＝0，)∴y＝�2(x＝�2，)

即y＝2(x＝2，)或y＝－2(x＝2，)或y＝2(x＝－2，)或y＝－2.(x＝－2，)选B.

3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(　　)

答案　D

解析　对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；

对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；

对于C，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除C.

4.已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)²＋y²＝3上，则α的值为(　　)

A.3(π) B.3(5π)

C.3(π)或3(5π) D.3(π)或6(π)

答案　C

解析　由(cos α－2)²＋sin²α＝3，得cos α＝2(1).

又0≤α<2π，∴α＝3(π)或α＝3(5π).

5.过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l₁与l₂分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________.

答案　x＋y－1＝0

解析　设M(x，y)，如图，

由直角三角形的性质可知

|PM|＝|MO|，

即(x－1)²＋(y－1)²＝x²＋y²，

∴x＋y－1＝0.

1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.

2.点(x₀，y₀)在曲线C上的充要条件是点(x₀，y₀)适合曲线C的方程.

3.方程表示的曲线的判断步骤：

4.判断方程表示曲线的注意事项：

(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线.

(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.

一、选择题

1.方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为(　　)

A.一条直线 B.一条射线

C.一条线段 D.不能确定

答案　B

解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线.

2.方程x²＋xy＝x表示的曲线是(　　)

A.一个点 B.一条直线

C.两条直线 D.一个点和一条直线

答案　C

解析　由x²＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x²＋xy＝x表示两条直线.故选C.

3.曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是(　　)

A.(0,0)   B.(5(1)，5(1))

C.(1,5)   D.(4,4)

答案　D

解析　点(4,4)适合方程y＝x且满足1≤x≤5.

4.已知a，b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，且点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，则f(x，y)＝0的几何特征是(　　)

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称

答案　D

解析　依题意知，点(a，b)与点(b，a)都在曲线f(x，y)＝0上，这两点关于直线y＝x对称，故选D.

5.到点(－1，－2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是(　　)

A.(x＋1)²＋(y＋2)²＝3

B.(x＋1)²＋(y＋2)²＝9

C.(x－1)²＋(y－2)²＝3

D.(x－1)²＋(y－2)²＝9

答案　B

解析　轨迹是以(－1，－2)为圆心，3为半径的圆，

故轨迹方程是(x＋1)²＋(y＋2)²＝9.

6.若点M到两坐标轴的距离的积为2 016，则点M的轨迹方程是(　　)

A.xy＝2 016   B.xy＝－2 016

C.xy＝�2 016   D.xy＝�2 016(x>0)

答案　C

解析　设M(x，y)，则由题意得|x|�|y|＝2 016，

所以xy＝�2 016.

7.方程x²＋(x²＋y²－1)²＝0所确定的曲线是(　　)

A.y轴或圆 B.两点(0,1)与(0，－1)

C.y轴或直线y＝�1   D.以上都不正确

答案　B

解析　∵x²＋(x²＋y²－1)²＝0，

∴x＝0且x²＋y²－1＝0，

∴它表示两点(0,1)和(0，－1).

8.下列命题正确的是(　　)

A.方程y－2(x)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线

B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0

C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5

D.曲线2x²－3y²－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0

答案　D

解析　对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0 (0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5.从而只有D是正确的.

二、填空题

9.点A(1，－2)在曲线x²－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.

答案　5

解析　由题意可知点(1，－2)是方程x²－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.

10.已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x²－y²＝0；④y(x)＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________.

答案　①

解析　①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确.如点(－1,1)满足方程x²－y²＝0，但它不在曲线C上；④不正确.如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程y(x)＝1.

11.设A，B两点的坐标分别是(－a,0)，(a,0)，若动点M满足k_MA�k_MB＝－1，则动点M的轨迹方程是________________.

答案　x²＋y²＝a²(x≠�a)

解析　设M(x，y).由k_MA�k_MB＝－1得

x＋a(y)�x－a(y)＝－1(x≠�a)，即x²＋y²＝a²(x≠�a).

三、解答题

12.已知a＝(x,0)，b＝(1，y)，且(a＋b)⊥(a－b)，求点P(x，y)的轨迹方程.

解　由(a＋b)⊥(a－b)得a²－3b²＝0，

解得|a|＝|b|，即|x|＝�.

∴x²＝3(1＋y²)，即3(x2)－y²＝1.

13.已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使→(MP)�→(MN)，→(PM)�→(PN)，→(NM)�→(NP)成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程.

解　设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，得

→(PM)＝－→(MP)＝(－1－x，－y)，

→(PN)＝－→(NP)＝(1－x，－y)，→(MN)＝－→(NM)＝(2,0).

∴→(MP)�→(MN)＝2(x＋1)，→(PM)�→(PN)＝x²＋y²－1，

→(NM)�→(NP)＝2(1－x).

∴→(MP)�→(MN)，→(PM)�→(PN)，→(NM)�→(NP)成公差小于零的等差数列等价于

2(1－x)－2(x＋1)<0，([2(x＋1)＋2(1－x)]，)

即x>0.(x2＋y2＝3，)

∴点P的轨迹方程为x²＋y²＝3(x>0).