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�3.3　直线的交点坐标与距离公式

3.3.1　两条直线的交点坐标

【课时目标】　1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．

1．两条直线的交点

已知两直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0；l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0．

若两直线方程组成的方程组A2x＋B2y＋C2＝0(A1x＋B1y＋C1＝0)有唯一解y＝y0(x＝x0)，则两直线______，交点坐标为________．

2．方程组的解的组数与两直线的位置关系

一、选择题

1．直线l₁：(－1)x＋y＝2与直线l₂：x＋(＋1)y＝3的位置关系是(　　)

A．平行       B．相交      C．垂直       D．重合

2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是(　　)

A．2x＋y－8＝0            B．2x－y－8＝0

C．2x＋y＋8＝0            D．2x－y＋8＝0

3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为(　　)

A．1       B．－1       C．2      D．－2

4．两条直线l₁：2x＋3y－m＝0与l₂：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为(　　)

A．－24                 B．6

C．�6                   D．以上答案均不对

5．已知直线l₁：x＋m²y＋6＝0，l₂：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l₁∥l₂，则m的值是(　　)

A．m＝3                 B．m＝0

C．m＝0或m＝3         D．m＝0或m＝－1

6．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A．2(3)        B．3(2)         C．－2(3)        D．－3(2)

二、填空题

7．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．

8．已知直线l过直线l₁：3x－5y－10＝0和l₂：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l₃：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．

9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．

三、解答题

10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．

11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．

能力提升

12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．

13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．

1．过定点(x₀，y₀)的直线系方程

y－y₀＝k(x－x₀)是过定点(x₀，y₀)的直线系方程，但不含直线x＝x₀；A(x－x₀)＋B(y－y₀)＝0是过定点(x₀，y₀)的一切直线方程．

2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．

3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0交点的直线系方程是A₁x＋B₁y＋C₁＋λ(A₂x＋B₂y＋C₂)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l₂；一般形式是m(A₁x＋B₁y＋C₁)＋n(A₂x＋B₂y＋C₂)＝0(m²＋n²≠0)，是过l₁与l₂交点的所有直线方程．

�3．3　直线的交点坐标与距离公式

3．3．1　两条直线的交点坐标

答案

知识梳理

1．相交　(x₀，y₀)

2．无　1　无数

作业设计

1．A　[化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]

2．A　[首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0．]

3．B　[首先联立2x－y＝10(4x＋3y＝10)，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1．]

4．C　[2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为3(m)，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为m(12)，由m(12)＝3(m)得m＝�6．]

5．D　[l₁∥l₂，则1�3m＝(m－2)�m²，

解得m＝0或m＝－1或m＝3．

又当m＝3时，l₁与l₂重合，

故m＝0或m＝－1．]

6．D　[设直线l与直线y＝1的交点为A(x_1,1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x₂，y₂)，因为M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝2(1＋y2)即y₂＝－3，代入直线x－y－7＝0得

x₂＝4，因为点B，M都在直线l上，所以k_l＝4－1(－3＋1)＝－3(2)．故选D．]

7．2

解析　首先解得方程组x－2y＋4＝0(x＋y－2＝0)的解为y＝2(x＝0)，

代入直线y＝3x＋b得b＝2．

8．8x＋16y＋21＝0

9．(－1，－2)

解析　直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．

10．解　(1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．

(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，

设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，

即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0．

据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．

令x＝0，得y＝－λ－2(1－8λ)；令y＝0，得x＝－1＋2λ(1－8λ)．

∴－λ－2(1－8λ)＝2�1＋2λ(1－8λ)解之得λ＝8(1)，此时y＝3(2)x．

∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或y＝3(2)x．

11．解　

如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C．

由已知得，直线DE的斜率

k_DE＝3＋2(1＋3)＝5(4)，所以k_AB＝5(4)．

因为直线AB过点F，所以直线AB的方程为

y－2＝5(4)(x＋1)，即4x－5y＋14＝0．①

由于直线AC经过点E(3,1)，且平行于DF，

同理可得直线AC的方程

5x－y－14＝0．②

联立①，②，解得点A的坐标是(4,6)．

同样，可以求得点B，C的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．

因此，△ABC的三个顶点是A(4,6)，B(－6，－2)，C(2，－4)．

12．解　

如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．

由y＝0(x－2y＋1＝0)，得x＝－1(y＝0)，

故A(－1,0)．

又∠A的角平分线为x轴，

故k_AC＝－k_AB＝－1，(也可得B关于y＝0的对称点(1，－2)．

∴AC方程为y＝－(x＋1)，

又k_BC＝－2，

∴BC的方程为

y－2＝－2(x－1)，

由y－2＝－2(x－1)(y＝－(x＋1))，得y＝－6(x＝5)，

故C点坐标为(5，－6)．

13．解　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得

＝25(b)，解得b＝3(a＝4)，

∴A的坐标为(4,3)．

∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，

又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3．

由方程组8x＋6y＝25(y＝3)，解得8()，

∴反射光线与直线l的交点坐标为，3(7)．