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3.2.3　直线的一般式方程

【课时目标】　1．了解二元一次方程与直线的对应关系．2．掌握直线方程的一般式．3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系．

1．关于x，y的二元一次方程________________(其中A，B________________)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

2．比较直线方程的五种形式(填空)

一、选择题

1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(　　)

A．A≠0                 B．B≠0

C．A�B≠0               D．A²＋B²≠0

2．直线(2m²－5m＋2)x－(m²－4)y＋5m＝0的倾斜角为45�，则m的值为(　　)

A．－2       B．2       C．－3       D．3

3．直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为(　　)

A．2(3)                    B．2(3)或0

C．0                    D．－2或0

4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)

A．3x＋2y－1＝0            B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0            D．2x－3y＋8＝0

5．直线l₁：ax－y＋b＝0，l₂：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)

6．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足(　　)

A．a＝b                    B．|a|＝|b|且c≠0

C．a＝b且c≠0             D．a＝b或c＝0

二、填空题

7．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为________，化为截距式为________．

8．已知方程(2m²＋m－3)x＋(m²－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是______________．

9．已知A(0,1)，点B在直线l₁：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．

三、解答题

10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

(1)斜率为，且经过点A(5,3)；

(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；

(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；

(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；

(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；

(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．

11．已知直线l₁：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l₂：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l₁与l₂平行．

能力提升

12．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n的值为(　　)

A．8        B．5(34)        C．4       D．11

13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．

1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．

2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax＋By＋C＝0化为截距式有两种方法：一是令x＝0，y＝0，求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；二是移常项，得Ax＋By＝－C，两边除以－C(C≠0)，再整理即可．

3．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：

①若一个斜率为零，另一个不存在则垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后则k₁k₂＝－1．

②一般地，设l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，

l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0，

l₁⊥l₂⇔A₁A₂＋B₁B₂＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误．

3．2．3　直线的一般式方程  答案

知识梳理

1．Ax＋By＋C＝0　不同时为0

2．y－y₀＝k(x－x₀)　y＝kx＋b　y2－y1(y－y1)＝x2－x1(x－x1)

a(x)＋b(y)＝1　Ax＋By＋C＝0

作业设计

1．D

2．D　[由已知得m²－4≠0，且m2－4(2m2－5m＋2)＝1，

解得：m＝3或m＝2(舍去)．]

3．A

4．A　[由题意知，直线l的斜率为－2(3)，因此直线l的方程为y－2＝－2(3)(x＋1)，

即3x＋2y－1＝0．]

5．C　[将l₁与l₂的方程化为斜截式得：

y＝ax＋b，y＝bx＋a，

根据斜率和截距的符号可得C．]

6．D　[直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：

(1)截距等于0，此时只要c＝0即可；

(2)截距不等于0，此时c≠0，直线在两坐标轴上的截距分别为－a(c)、－b(c)．若相等，则有－a(c)＝－b(c)，即a＝b．

综合(1)(2)可知，若ax＋by＋c＝0 (ab≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则a＝b或c＝0．]

7．y＝－2(1)x－3　－6(x)＋－3(y)＝1

8．m∈R且m≠1

解析　由题意知，2m²＋m－3与m²－m不能同时为0，

由2m²＋m－3≠0得m≠1且m≠－2(3)；

由m²－m≠0，得m≠0且m≠1，故m≠1．

9．x－y＋1＝0

解析　AB⊥l₁时，AB最短，所以AB斜率为k＝1，

方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．

10．解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，

即x－y＋3－5＝0．

(2)x＝－3，即x＋3＝0．

(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0．

(4)y＝3，即y－3＝0．

(5)由两点式方程得－1－5(y－5)＝2－(－1)(x－(－1))，

即2x＋y－3＝0．

(6)由截距式方程得－3(x)＋－1(y)＝1，即x＋3y＋3＝0．

11．解　当m＝5时，l₁：8x＋y－11＝0，l₂：7x－8＝0．

显然l₁与l₂不平行，同理，当m＝－3时，l₁与l₂也不平行．

当m≠5且m≠－3时，l₁∥l₂⇔5－m(8)，

∴m＝－2．

∴m为－2时，直线l₁与l₂平行．

12．B　[点(0,2)与点(4,0)关于直线y－1＝2(x－2)对称，则点(7,3)与点(m，n)也关于直线y－1＝2(x－2)对称，

则2(1)，解得5(31)，

故m＋n＝5(34)．]

13．

(1)证明　将直线l的方程整理为y－5(3)＝a(x－5(1))，∴l的斜率为a，

且过定点A(5(1)，5(3))．

而点A(5(1)，5(3))在第一象限，故l过第一象限．

∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．

(2)解　直线OA的斜率为k＝－0(1)＝3．

∵l不经过第二象限，∴a≥3．