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3.2.2　直线的两点式方程

【课时目标】　1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．

1．直线方程的两点式和截距式

2．线段的中点坐标公式

若点P₁、P₂的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，设P(x，y)是线段P₁P₂的中点，则y＝　　　　(x＝　　　　)．

一、选择题

1．下列说法正确的是(　　)

A．方程x－x1(y－y1)＝k表示过点M(x₁，y₁)且斜率为k的直线方程

B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为a(x)＋b(y)＝1

C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b

D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式

2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　)

A．可以写成两点式或截距式

B．可以写成两点式或斜截式或点斜式

C．可以写成点斜式或截距式

D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式

3．直线a2(x)－b2(y)＝1在y轴上的截距是(　　)

A．|b|        B．－b²        C．b²        D．�b

4．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是(　　)

A．－3(x)＋4(y)＝1                 B．3(x)＋－4(y)＝1

C．－3(x)－4(y)＝1                 D．4(x)＋－3(y)＝1

5．直线m(x)－n(y)＝1与n(x)－m(y)＝1在同一坐标系中的图象可能是(　　)

6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)

A．2x＋y－12＝0

B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0

C．x－2y－1＝0

D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0

二、填空题

7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．

8．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．

9．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是______________．

三、解答题

10．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程．

11．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．

能力提升

12．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．

13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．

1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x₀，y₀)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．

2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．

3．强调两个问题：

(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x＝2没有纵截距．

(2)方程y－y₁＝x2－x1(y2－y1)(x－x₁)(x₁≠x₂)与y2－y1(y－y1)＝x2－x1(x－x1)(x₁≠x₂，y₁≠y₂)以及(y－y₁)(x₂－x₁)＝(x－x₁)(y₂－y₁)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．

3．2．2　直线的两点式方程  答案

知识梳理

1．a(x)＋b(y)＝1

2．2(x1＋x2)　2(y1＋y2)

作业设计

1．A　2．B

3．B　[令x＝0得，y＝－b²．]

4．A

5．B　[两直线的方程分别化为斜截式：y＝m(n)x－n，

y＝n(m)x－m，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相同．]

6．D　[当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，

将(5,2)代入得，y＝5(2)x，即2x－5y＝0；

当b≠0时，方程设为2b(x)＋b(y)＝1，求得b＝2(9)，∴选D．]

7．y－2(3)＝2(x－2)

解析　k_AB＝－2(1)，由k�k_AB＝－1得

k＝2，AB的中点坐标为2(3)，

点斜式方程为y－2(3)＝2(x－2)．

8．3(x)＋2(y)＝1或2(x)＋y＝1

解析　设直线方程的截距式为a＋1(x)＋a(y)＝1，则a＋1(6)＋a(－2)＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是2＋1(x)＋2(y)＝1或1＋1(x)＋1(y)＝1，即3(x)＋2(y)＝1或2(x)＋y＝1．

9．2(x)＋6(y)＝1

解析　设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，

即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．

则l的方程为2(x)＋6(y)＝1．

10．解　方法一　设所求直线l的方程为y＝kx＋b．

∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．

令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；

令y＝0，∴x＝－6(b)，与x轴的交点为，0(b)．

根据勾股定理得6(b)²＋b²＝37，

∴b＝�6．因此直线l的方程为y＝6x�6．

方法二　设所求直线为a(x)＋b(y)＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．

由勾股定理知a²＋b²＝37．

又k＝－a(b)＝6，∴＝6.(b)

解此方程组可得b＝－6(a＝1，)或b＝6.(a＝－1，)

因此所求直线l的方程为x＋－6(y)＝1或－x＋6(y)＝1．

11．解　(1)由截距式得－8(x)＋4(y)＝1，

∴AC所在直线方程为x－2y＋8＝0，

由两点式得6－4(y－4)＝－2(x)，

∴AB所在直线方程为x＋y－4＝0．

(2)D点坐标为(－4,2)，由两点式得6－2(y－2)＝－2－(－4)(x－(－4))．

∴BD所在直线方程为2x－y＋10＝0．

(3)由k_AC＝2(1)，∴AC边上的中垂线的斜率为－2，

又D(－4,2)，由点斜式得y－2＝－2(x＋4)，

∴AC边上的中垂线所在直线方程为2x＋y＋6＝0．

12．(0,1)

解析　要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，连接A′B，直线A′B与y轴的交点P即为所求点．

13．解　当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为7(1)，

∴所求直线方程为y＝7(1)x，

即x－7y＝0．

当直线l不过原点时，设其方程a(x)＋b(y)＝1，

由题意可得a＋b＝0，           ①

又l经过点(7,1)，有a(7)＋b(1)＝1，    ②

由①②得a＝6，b＝－6，则l的方程为6(x)＋－6(y)＝1，即x－y－6＝0．

故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．