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�3.2　直线的方程

3.2.1　直线的点斜式方程

【课时目标】　1．掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素．2．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．

1．直线的点斜式方程和斜截式方程

2．对于直线l₁：y＝k₁x＋b₁，l₂：y＝k₂x＋b₂，

(1)l₁∥l₂⇔________________________；

(2)l₁⊥l₂⇔________________．

一、选择题

1．方程y＝k(x－2)表示(　　)

A．通过点(－2,0)的所有直线

B．通过点(2,0)的所有直线

C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线

D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线

2．已知直线的倾斜角为60�，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为(　　)

A．y＝x＋2                 B．y＝－x＋2

C．y＝－x－2               D．y＝x－2

3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)

A．k>0，b>0                  B．k>0，b<0

C．k<0，b>0                  D．k<0，b<0

4．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是(　　)

5．集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是(　　)

A．A＝B                    B．BA

C．AB                    D．以上都不对

6．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)

A．(1,3)                     B．(－1，－3)

C．(3,1)                     D．(－3，－1)

二、填空题

7．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90�，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为______________．

8．已知一条直线经过点P(1,2)且与直线y＝2x＋3平行，则该直线的点斜式方程是________．

9．下列四个结论：

①方程k＝x＋1(y－2)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；

②直线l过点P(x₁，y₁)，倾斜角为90�，则其方程是x＝x₁；

③直线l过点P(x₁，y₁)，斜率为0，则其方程是y＝y₁；

④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．

正确的为________(填序号)．

三、解答题

10．写出下列直线的点斜式方程．

(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；

(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．

11．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．

能力提升

12．已知直线l的斜率为6(1)，且和两坐标轴围成三角形的面积为3，求l的方程．

13．等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为，点B(－3,2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线方程．

1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x₀，y₀)，斜率不存在的直线方程为x＝x₀．直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．

2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．

�3．2　直线的方程

3．2．1　直线的点斜式方程

答案

知识梳理

1．y－y₀＝k(x－x₀)　y＝kx＋b

2．(1)k₁＝k₂且b₁≠b₂　(2)k₁k₂＝－1

作业设计

1．C　[易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．]

2．D　[直线的倾斜角为60�，则其斜率为，

利用斜截式直接写方程．]

3．B　4．D

5．B　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)；

直线的斜截式方程y＝kx＋b中k可以是0，所以BA．]

6．C　[直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，

由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．]

7．y＝－3(1)x＋3(1)

解析　直线y＝3x绕原点逆时针旋转90�所得到的直线方程为y＝－3(1)x，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y＝－3(1)(x－1)，即y＝－3(1)x＋3(1)．

8．y－2＝2(x－1)

9．②③

10．解　(1)由题意知，直线的斜率为2，

所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．

(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0�＝0，

所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1．

11．解　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，

∴k_AD�k_BC＝－1，∴0－3(2＋3)�k_AD＝－1，解得k_AD＝5(3)．

∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝5(3)(x＋5)，

即y＝5(3)x＋3．

12．解　设直线l的方程为y＝6(1)x＋b，

则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b．

由已知可得2(1)�|b|�|6b|＝3，

即6|b|²＝6，∴b＝�1．

故所求直线方程为y＝6(1)x＋1或y＝6(1)x－1．

13．解　直线AC的方程：y＝x＋2＋．

∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60�，

∴BC的倾斜角为30�或120�．

当α＝30�时，BC方程为y＝3(3)x＋2＋，∠A平分线倾斜角为120�，

∴所在直线方程为y＝－x＋2－．

当α＝120�时，BC方程为y＝－x＋2－3，∠A平分线倾斜角为30�，

∴所在直线方程为y＝3(3)x＋2＋3(3)．