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3.1.2　两条直线平行与垂直的判定

【课时目标】　1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．

1．两条直线平行与斜率的关系

(1)对于两条不重合的直线l₁，l₂，其斜率分别为k₁、k₂，有l₁∥l₂⇔________．

(2)如果直线l₁、l₂的斜率都不存在，并且l₁与l₂不重合，那么它们都与________垂直，故l₁________l₂．

2．两条直线垂直与斜率的关系

(1)如果直线l₁、l₂的斜率都存在，并且分别为k₁、k₂，那么l₁⊥l₂⇔__________．

(2)如果两条直线l₁、l₂中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l₁与l₂的位置关系是________．

一、选择题

1．有以下几种说法：(l₁、l₂不重合)

①若直线l₁，l₂都有斜率且斜率相等，则l₁∥l₂；

②若直线l₁⊥l₂，则它们的斜率互为负倒数；

③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；

④只有斜率相等的两条直线才一定平行．

以上说法中正确的个数是(　　)

A．1        B．2        C．3       D．0

2．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形是(　　)

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形

3．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值(　　)

A．2      B．1         C．0        D．－1

4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)

A．1     B．0         C．0或2    D．0或1

5．若直线l₁、l₂的倾斜角分别为α₁、α₂，且l₁⊥l₂，则有(　　)

A．α₁－α₂＝90�             B．α₂－α₁＝90�

C．|α₂－α₁|＝90�            D．α₁＋α₂＝180�

6．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是(　　)

A．平行四边形             B．直角梯形

C．等腰梯形               D．以上都不对

二、填空题

7．如果直线l₁的斜率为a，l₁⊥l₂，则直线l₂的斜率为________．

8．直线l₁，l₂的斜率k₁，k₂是关于k的方程2k²－3k－b＝0的两根，若l₁⊥l₂，则b＝________；若l₁∥l₂，则b＝________．

9．已知直线l₁的倾斜角为60�，直线l₂经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l₁，l₂的位置关系是____________．

三、解答题

10．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．

11．已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，试求m的值．

能力提升

12．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．

13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．

3．1．2　两条直线平行与垂直的判定  答案

知识梳理

1．(1)k₁＝k₂　(2)x轴　∥

2．(1)k₁k₂＝－1　(2)垂直

作业设计

1．B　[①③正确，②④不正确，l₁或l₂可能斜率不存在．]

2．C　[k_AB＝－3(2)，k_AC＝2(3)，k_AC�k_AB＝－1，∴AB⊥AC．]

3．B　[直线AB应与x轴垂直，A、B横坐标相同．]

4．D　[当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当k_AB＝k_CD时，m＝1，此时AB∥CD．]

5．C

6．B　[k_AB＝k_DC，k_AD≠k_BC，k_AD�k_AB＝－1，故构成的图形为直角梯形．]

7．－a(1)或不存在

8．2　－8(9)

解析　若l₁⊥l₂，则k₁k₂＝－2(b)＝－1，∴b＝2．

若l₁∥l₂，则k₁＝k₂，Δ＝9＋8b＝0，∴b＝－8(9)．

9．平行或重合

解析　由题意可知直线l₁的斜率k₁＝tan 60�＝，

直线l₂的斜率k₂＝－2－1(3)＝，

因为k₁＝k₂，所以l₁∥l₂或l₁，l₂重合．

10．解　

由斜率公式可得

k_AB＝6－(－2)(6－(－4))＝4(5)，

k_BC＝6－0(6－6)＝0，

k_AC＝0－(－2)(6－(－4))＝5．

由k_BC＝0知直线BC∥x轴，

∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．

设AB、AC边上高线的斜率分别为k₁、k₂，

由k₁�k_AB＝－1，k₂�k_AC＝－1，

即k₁�4(5)＝－1，k₂�5＝－1，

解得k₁＝－5(4)，k₂＝－5(1)．

∴BC边上的高所在直线斜率不存在；

AB边上的高所在直线斜率为－5(4)；

AC边上的高所在直线斜率为－5(1)．

11．解　k_AB＝5－1(－1－1)＝－2(1)，k_AC＝5－2(－1－m)＝－3(m＋1)，

k_BC＝2－1(m－1)＝m－1．

若AB⊥AC，则有－2(1)�3(m＋1)＝－1，

所以m＝－7．

若AB⊥BC，则有－2(1)�(m－1)＝－1，

所以m＝3．

若AC⊥BC，则有－3(m＋1)�(m－1)＝－1，

所以m＝�2．

综上可知，所求m的值为－7，�2,3．

12．(－19，－62)

解析　设A(x，y)，∵AC⊥BH，AB⊥CH，

且k_BH＝－5(1)，

k_CH＝－3(1)，

∴＝3.(y－1)解得y＝－62.(x＝－19，)

13．解　

∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：

(1)AB∥CD，AB⊥AD，

由图可知：A(2，－1)．

(2)AD∥BC，AD⊥AB，

kAD�kAB＝－1(kAD＝kBC)⇒＝－1(n＋1)

∴5(8)．综上n＝－1(m＝2)或5(8)．