新万博软件2018|ManBeTx最新动态|ManBeTx移动版

第三章　直线与方程

�3.1　直线的倾斜角与斜率

3.1.1　倾斜角与斜率

【课时目标】　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．

1．倾斜角与斜率的概念

2．倾斜角与斜率的对应关系

一、选择题

1．对于下列命题

①若α是直线l的倾斜角，则0�≤α<180�；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1           B．2          C．3         D．4

2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为(　　)

A．a＝4，b＝0               B．a＝－4，b＝－3

C．a＝4，b＝－3             D．a＝－4，b＝3

3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45�，得到直线l₁，那么l₁的倾斜角为(　　)

A．α＋45�                

B．α－135�

C．135�－α

D．当0�≤α<135�时，倾斜角为α＋45�；当135�≤α<180�时，倾斜角为α－135�

4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．[0�，90�]        B．[90�，180�)

C．[90�，180�)或α＝0�           D．[90�，135�]

5．若图中直线l₁、l₂、l₃的斜率分别为k₁、k₂、k₃，则(　　)

A．k₁<k₂<k₃                B．k₃<k₁<k₂

C．k₃<k₂<k₁                D．k₁<k₃<k₂

6．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是(　　)

A．mn>0                  B．mn<0

C．m>0，n<0              D．m<0，n<0

二、填空题

7．若直线AB与y轴的夹角为60�，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．

8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为________．

9．已知直线l的倾斜角为α－20�，则α的取值范围是________________________．

三、解答题

10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60�，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．

11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．

能力提升

12．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求x(y)的最大值和最小值．

13．已知函数f(x)＝log₂(x＋1)，a>b>c>0，则a(f(a))，b(f(b))，c(f(c))的大小关系是________________．

1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．

2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线．

3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．

第三章　直线与方程

�3．1　直线的倾斜角与斜率

3．1．1　倾斜角与斜率

答案

知识梳理

1．相交　x轴　正向　向上方向　正切值

2．90�

作业设计

1．C　[①②③正确．]

2．C　[由题意，得kAB＝2，(kAC＝2，)即＝2.(7－5)

解得a＝4，b＝－3．]

3．D　[因为0�≤α<180�，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0�≤α<135�时，倾斜角为α＋45�；

当135�≤α<180�时，倾斜角为45�＋α－180�＝α－135�．]

4．C　[倾斜角的取值范围为0�≤α<180�，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．]

5．D　[由图可知，k₁<0，k₂>0，k₃>0，

且l₂比l₃的倾斜角大．∴k₁<k₃<k₂．]

6．C　[由题意知，直线与x轴不垂直，故n≠0．直线方程化为y＝－n(m)x＋n(1)，则－n(m)>0，且n(1)<0，即m>0，n<0．]

7．30�或150�　3(3)或－3(3)　8．0

9．20�≤α<200�

解析　因为直线的倾斜角的范围是[0�，180�)，

所以0�≤α－20�<180�，解之可得20�≤α<200�．

10．解　α_AD＝α_BC＝60�，α_AB＝α_DC＝0�，α_AC＝30�，α_BD＝120�．

k_AD＝k_BC＝，k_AB＝k_CD＝0，k_AC＝3(3)，k_BD＝－．

11．解　设P(x,0)，则k_PA＝－1－x(3－0)＝－x＋1(3)，

k_PB＝3－x(1－0)＝3－x(1)，依题意，

由光的反射定律得k_PA＝－k_PB，

即x＋1(3)＝3－x(1)，解得x＝2，即P(2,0)．

12．解　

x(y)＝x－0(y－0)其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．

点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．则k_OA＝2，k_OB＝3(2)．

所以得x(y)的最大值为2，最小值为3(2)．

13．c(f(c))>b(f(b))>a(f(a))

解析　画出函数的草图如图，x(f(x))可视为过原点直线的斜率．