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�4.3　空间直角坐标系

4.3.1　空间直角坐标系

【课时目标】　1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．掌握空间中任意一点的表示方法．3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．

1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向，以线段OA、OC、OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个______________________________，其中点O叫做________________，x轴、y轴、z轴叫做________________，通过每两个坐标轴的平面叫做________________，分别称为__________________________，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即________指向x轴的正方向，________指向y轴的正方向，________指向z轴的正方向．

2．空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的____________，y叫做点M的____________，z叫做点M的____________．

一、选择题

1．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为(　　)

A．(1，－2，－3)                B．(1，－2,3)

C．(1,2,3)                       D．(－1,2，－3)

2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为(　　)

A．垂直于xOz平面的一条直线

B．平行于xOz平面的一条直线

C．垂直于y轴的一个平面

D．平行于y轴的一个平面

3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为2(1)的小正方体堆积成的正方体)．其中实圆•代表钠原子，空间圆代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(　　)

A．，1(1)                     B．(0,0,1)

C．，1(1)                     D．2(1)

4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为(　　)

A．(－3,4,5)                      B．(－3，－4,5)

C．(3，－4，－5)                 D．(－3,4，－5)

5．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　)

A．关于x轴对称                 B．关于yOz平面对称

C．关于坐标原点对称             D．以上都不对

6．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是(　　)

A．     B．|a|        C．|b|         D．|c|

二、填空题

7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是________．

8．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(1，，)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是______．

9．连接平面上两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)的线段P₁P₂的中点M的坐标为2(y1＋y2)，那么，已知空间中两点P₁(x₁，y₁，z₁)、P₂(x₂，y₂，z₂)，线段P₁P₂的中点M的坐标为____________________．

三、解答题

10．已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，E、F、G是DD₁、BD、BB₁的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标．

11．如图所示，已知长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．

能力提升

12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60�，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．

13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．

1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．

2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．

①点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x，－y，－z)．

②点(x，y，z)在xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)．

�4．3　空间直角坐标系

4．3．1　空间直角坐标系

答案

知识梳理

1．空间直角坐标系Oxyz　坐标原点　坐标轴　坐标平面

xOy平面、yOz平面、zOx平面　右手拇指　食指　中指

2．横坐标　纵坐标　竖坐标

作业设计

1．B　[两点关于x轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反．]

2．A　3．A

4．A　[两点关于平面yOz对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同．]

5．C　[三坐标均相反时，两点关于原点对称．]

6．D　7．②③④　8．(0，，)

9．2(z1＋z2)

10．解　

如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A₁(1,0,1)，B₁(1,1,1)，C₁(0,1,1)，D₁(0,0,1)，E2(1)，F，0(1)，

G2(1)．

11．解　由于已经建立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B(－2,3，－1)，C(2,3，－1)，D(2，－3，－1)，A₁(－2，－3,1)，B₁(－2,3,1)，C₁(2,3,1)，D₁(2，－3,1)．

12．解　如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直

线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2(3)，2(3)，0)，D(2(1)，2(3)，0)，P(0,0,2)，E(1，2(3)，0)．

13．解　因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．

又因为AB＝AC＝6，BC是圆O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝6．

以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－3，0)、B(3，0,0)、C(－3，0,0)、D(0，－3，8)、E(0,0,8)、F(0,3，0)．