新万博软件2018|ManBeTx最新动态|ManBeTx移动版

4.2.3　直线与圆的方程的应用

【课时目标】　1．正确理解直线与圆的概念并能解决简单的实际问题．2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．3．体会用代数方法处理几何问题的思想．

用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：

一、选择题

1．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x²＋y²的最小值为(　　)

A．4       B．6       C．8      D．12

2．若直线ax＋by＝1与圆x²＋y²＝1相交，则点P(a，b)的位置是(　　)

A．在圆上             B．在圆外

C．在圆内             D．都有可能

3．如果实数满足(x＋2)²＋y²＝3，则x(y)的最大值为(　　)

A．       B．－       C．3(3)       D．－3(3)

4．一辆卡车宽2．7米，要经过一个半径为4．5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过(　　)

A．1．4米                B．3．0米

C．3．6米                D．4．5米

5．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x²＋y²－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　)

A．3－                B．3＋

C．3－2(2)                D．2(2)

6．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是(　　)

A．[－3，3]       B．[－3,3]

C．(－3,3]           D．[－3，3)

二、填空题

7．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)²＋y²＝1引切线，则切线长的最小值为________．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²＋y²＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

9．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是________．

三、解答题

10．如图所示，圆O₁和圆O₂的半径都等于1，O₁O₂＝4．过动点P分别作圆O₁、圆O₂的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．

11．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²＋y²－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

能力提升

12．已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C截得的弦AB为直径的圆经过原点．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

13．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化归结为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．

2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．

4．2．3　直线与圆的方程的应用  答案

知识梳理

作业设计

1．C　[令t＝x²＋y²，则t表示直线上的点到原点距离的平方，当过原点的直线与l：x＋y－4＝0垂直时，可得最小距离为2，则t_min＝8．]

2．B　[由题意a2＋b2(1)<1⇒a²＋b²>1，故P在圆外．]

3．A　[

令t＝x(y)，则t表示圆(x＋2)²＋y²＝3上的点与原点连线的斜率，如图所示，此时k＝OD(CD)＝1(3)＝，相切时斜率最大．]

4．C　[

可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD＝＝3．6(米)．]

5．A　[l_AB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离

d＝2(|3|)＝2(3)，∴AB边上的高的最小值为2(3)－1．

∴S_min＝2(1)�(2)�－1(3)＝3－．]

6．C　[M∩N≠∅，说明直线y＝x＋b与半圆x²＋y²＝9(y>0)相交，画图探索可知

－3<b≤3，解决本题的关键是注意到y＝⇔x²＋y²＝9(y>0)的图形是半圆．]

7．

解析　设P(x₀，y₀)为直线y＝x＋1上一点，圆心C(3,0)到P点的距离为d，切线长为l，则l＝，当d最小时l最小，当PC垂直直线y＝x＋1时，d最小，此时d＝2，

∴l_min＝＝．

8．(－13,13)

解析　由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1．

∵d＝122＋52(|c|)＝13(|c|)，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)．

9．2(π)

解析　如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，

此时ABO₂O₁为矩形，

且S_max＝2�1－2(1)�2(π)�1²�2＝2－2(π)．

10．解　以O₁O₂的中点O为原点，O₁O₂所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

则O₁(－2,0)，O₂(2,0)．

由已知|PM|＝|PN|，

∴|PM|²＝2|PN|²．

又∵两圆的半径均为1，

所以|PO₁|²－1

＝2(|PO₂|²－1)，设P(x，y)，

则(x＋2)²＋y²－1＝2[(x－2)²＋y²－1]，

即(x－6)²＋y²＝33．

∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)²＋y²＝33．

11．解　

如图所示，已知圆C：x²＋y²－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C₁：(x－2)²＋(y＋2)²＝1，其圆心C₁的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C₁相切．

设l的方程为y－3＝k(x＋3)，

则12＋k2(|5k＋5|)＝1，即12k²＋25k＋12＝0．

∴k₁＝－3(4)，k₂＝－4(3)．

则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0．

12．解　假设存在，设直线方程为y＝x＋b，

则x2＋y2－2x＋4y－4＝0(y＝x＋b)

⇒2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4＝0．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则Δ＝4(b＋1)²－8(b²＋4b－4)>0．

∴－3－3<b<－3＋3．

而x₁＋x₂＝－(b＋1)，x₁x₂＝2(b2＋4b－4)，

由y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)＝x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²

＝2(b2＋2b－4)，

∵AB为直径，x2(y2)�x1(y1)＝－1，即y₁y₂＋x₁x₂＝0，

∴2(b2＋4b－4)＋2(b2＋2b－4)＝0即b²＋3b－4＝0，

∴b＝1或b＝－4．

∴直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4．

13．

解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x²＋y²＝9，

港口所对应的点的坐标为(0,4)，

轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，

则轮船航线所在直线l的方程为

7(x)＋4(y)＝1，即4x＋7y－28＝0．

圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离

d＝42＋72(|28|)＝65(28)，而半径r＝3，∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．