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4.2.2　圆与圆的位置关系

【课时目标】　1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．

圆与圆位置关系的判定有两种方法：

1．几何法：若两圆的半径分别为r₁、r₂，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

2．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆C2方程(圆C1方程)消元(――→)一元二次方程Δ<0⇒　　　　　　　　(Δ＝0⇒　　　　　　　　)

一、选择题

1．两圆(x＋3)²＋(y－2)²＝4和(x－3)²＋(y＋6)²＝64的位置关系是(　　)

A．外切      B．内切       C．相交        D．相离

2．两圆x²＋y²－4x＋2y＋1＝0与x²＋y²＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)

A．1条      B．2条        C．3条        D．4条

3．圆x²＋y²－4x＋6y＝0和圆x²＋y²－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A．x＋y＋3＝0              B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0             D．4x－3y＋7＝0

4．圆C₁：(x－m)²＋(y＋2)²＝9与圆C₂：(x＋1)²＋(y－m)²＝4外切，则m的值为(　　)

A．2                       B．－5

C．2或－5                 D．不确定

5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)²＋(y＋7)²＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A．(x－5)²＋(y＋7)²＝25

B．(x－5)²＋(y＋7)²＝17或(x－5)²＋(y＋7)²＝15

C．(x－5)²＋(y＋7)²＝9

D．(x－5)²＋(y＋7)²＝25或(x－5)²＋(y＋7)²＝9

6．集合M＝{(x，y)|x²＋y²≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)²＋(y－1)²≤r²，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(　　)

A．(0，－1)             B．(0,1]

C．(0,2－]               D．(0,2]

二、填空题

7．两圆x²＋y²＝1和(x＋4)²＋(y－a)²＝25相切，则实数a的值为________．

8．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．

9．两圆x²＋y²－x＋y－2＝0和x²＋y²＝5的公共弦长为____________．

三、解答题

10．求过点A(0,6)且与圆C：x²＋y²＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．

11．点M在圆心为C₁的方程x²＋y²＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C₂的方程x²＋y²＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．

能力提升

12．若⊙O：x²＋y²＝5与⊙O₁：(x－m)²＋y²＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．

13．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)²＋(y－2)²＝9．

(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；

(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B．直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？

(3)求直线AB的方程．

1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．

2．两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数．

3．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．

4．2．2　圆与圆的位置关系  答案

知识梳理

1．d>r₁＋r₂　r₁＋r₂　d＝|r₁－r₂|　|r₁－r₂|

2．相交　内切或外切　外离或内含

作业设计

1．A　[圆心距d＝r＋R，选A．]

2．C　[∵两圆标准方程为(x－2)²＋(y＋1)²＝4，

(x＋2)²＋(y－2)²＝9，

∴圆心距d＝＝5，

r₁＝2，r₂＝3，

∴d＝r₁＋r₂，∴两圆外切，∴公切线有3条．]

3．C　[两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得答案为C．]

4．C　[外切时满足r₁＋r₂＝d，

即＝5，解得m＝2或－5．]

5．D　[设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时|PA|＝5，内切时|PA|＝3，所以P的轨迹为以A为圆心，3或5为半径的圆，选D．]

6．C　[由已知M∩N＝N知N⊆M，

∴圆x²＋y²＝4与圆(x－1)²＋(y－1)²＝r²内切或内含，

∴2－r≥，∴0<r≤2－．]

7．�2或0

解析　∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径分别为1和5，两圆外切时有

＝1＋5，∴a＝�2，

两圆内切时有＝5－1，

∴a＝0．综上，a＝�2或a＝0．

8．3

解析　A、B两点关于直线x－y＋n＝0对称，

即AB中点(2(m＋1)，1)在直线x－y＋n＝0上，

则有2(m＋1)－1＋n＝0，①

且AB斜率1－m(4)＝－1②

由①②解得：m＝5，n＝－2，m＋n＝3．

9．

解析　由x2＋y2＝5 ②(x2＋y2－x＋y－2＝0 　　①)

②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，

∴圆x²＋y²＝5的圆心到该直线的距离为

d＝1＋(－1)2(|－3|)＝2(3)，

设公共弦长为l，∴l＝22(3)＝．

10．解　设所求圆的方程为

(x－a)²＋(y－b)²＝r²，

则＝r ③(b＝3 ②)

由①②③得2(a＝b＝3)．∴(x－3)²＋(y－3)²＝18．

11．解　把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)²＋(y－1)²＝9，

(x＋1)²＋(y＋2)²＝4．

如图，C₁的坐标是(－3,1)，半径长是3；C₂的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，

|C₁C₂|＝＝．

因此，|MN|的最大值是＋5．

12．4

解析　如图所示，

在Rt△OO₁A中，OA＝，O₁A＝2，

∴OO₁＝5，

∴AC＝5(5)＝2，

∴AB＝4．

13．解　

(1)∵已知圆的方程为

(x－4)²＋(y－2)²＝3²，

∴Q(4,2)．

PQ中点为Q′2(1)，

半径为r＝2(|PQ|)＝2(61)，

故以Q′为圆心的圆的方程为

(x－1)²＋2(1)²＝4(61)．

(2)∵PQ是圆Q′的直径，∴PA⊥AQ(如图所示)

∴PA是⊙Q的切线，同理PB也是⊙Q的切线．

(3)将⊙Q与⊙Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0．

此即为直线AB的方程．