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�4.2　直线、圆的位置关系

4.2.1　直线与圆的位置关系

【课时目标】　1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)²＋(y－b)²＝r²的位置关系及判断

一、选择题

1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)²＋(y－1)²＝9的位置关系是(　　)

A．相交并且过圆心          B．相交不过圆心

C．相切                    D．相离

2．已知圆x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，那么(　　)

A．D＝0，E＝0，F≠0       B．D＝0，E≠0，F＝0

C．D≠0，E＝0，F＝0       D．D≠0，E≠0，F＝0

3．圆x²＋y²－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于(　　)

A．       B．2(2)       C．1       D．5

4．圆x²＋y²＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有(　　)

A．1个      B．2个      C．3个     D．4个

5．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x²＋y²＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是(　　)

A．锐角三角形           B．直角三角形

C．钝角三角形           D．不存在

6．与圆x²＋y²－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　)

A．1条      B．2条       C．3条        D．4条

二、填空题

7．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x²＋y²＝2}，那么P∩Q为________．

8．圆x²＋y²－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为______________．

9．P(3,0)为圆C：x²＋y²－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是______________．

三、解答题

10．求过点P(－1,5)的圆(x－1)²＋(y－2)²＝4的切线方程．

11．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x²＋y²＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．

能力提升

12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x²＋y²＝r²内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r²＝0，则(　　)

A．l∥g且与圆相离             B．l⊥g且与圆相切

C．l∥g且与圆相交             D．l⊥g且与圆相离

13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x²＋y²＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．

1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．

2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝�＝|x₁－x₂|．

3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．

�4．2　直线、圆的位置关系

4．2．1　直线与圆的位置关系

答案

知识梳理

2　1　0　<　＝　>　>　＝　<

作业设计

1．D　[圆心到直线距离d>r．]

2．C　[与y轴切于原点，则圆心，0(D)，得E＝0，圆过原点得F＝0，故选C．]

3．A　[分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得．]

4．C　[通过画图可知有三个点到直线x＋y＋1＝0距离为．]

5．B　[由题意a2＋b2(|c|)＝1⇒|c|＝⇒c²＝a²＋b²，故为直角三角形．]

6．C　[需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y＝kx或a(x)＋a(y)＝1，由d＝r求得k＝�1，a＝4．]

7．{(1,1)}

解析　解方程组x＋y＝2，(x2＋y2＝2，)

得x＝y＝1．

8．x－y＋2＝0

解析　先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为3(3)，则过(1，)切线方程为x－y＋2＝0．

9．x＋y－3＝0

解析　过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为

x＋y－3＝0．

10．解　①当斜率k存在时，

设切线方程为y－5＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＋5＝0．

由圆心到切线的距离等于半径得k2＋1(|k－2＋k＋5|)＝2，

解得k＝－12(5)，∴切线方程为5x＋12y－55＝0．

②当斜率k不存在时，切线方程为x＝－1，此时与圆正好相切．

综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－55＝0．

11．解　圆心到l的距离d＝2(5)＝，显然l存在斜率．

设l：y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，d＝k2＋1(|5－5k|)．

∴k2＋1(|5－5k|)＝，∴k＝2(1)或2．

∴l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．

12．A　[∵M在圆内，∴a²＋b²<r²．∴(0,0)到l的距离d＝a2＋b2(r2)>r即直线l与圆相离，又直线g的方程为y－b＝－b(a)(x－a)，即ax＋by－a²－b²＝0，∴l∥g．]

13．解　设点A、B的坐标分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．

由OA⊥OB，知k_OA�k_OB＝－1，

即x1(y1)�x2(y2)＝－1，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0              ①

由x2＋y2＋x－2cy＋c＝0(x＋2y－3＝0)，

得5y²－(2c＋14)y＋c＋12＝0，

则y₁＋y₂＝5(1)(2c＋14)，y₁y₂＝5(1)(c＋12)       ②

又x₁x₂＝(3－2y₁)(3－2y₂)＝9－6(y₁＋y₂)＋4y₁y₂，代入①得9－6(y₁＋y₂)＋5y₁y₂＝0③

由②、③得，c＝3．