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4.1.2　圆的一般方程

【课时目标】　1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．4．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用．

1．圆的一般方程的定义

(1)当________________时，方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为______________________．

(2)当D²＋E²－4F＝0时，方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0表示点________________．

(3)当__________________时，方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．

2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点M(x₀，y₀)和圆的方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(D²＋E²－4F>0)．，则其位置关系如下表：

一、选择题

1．圆2x²＋2y²＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)

A．，1(3)和4(19)             B．(3,2)和2(19)

C．，1(3)和2(19)           D．，－1(3)和2(19)

2．方程x²＋y²＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(　　)

A．4(1)<m<1                  B．m>1

C．m<4(1)                    D．m<1

3．M(3,0)是圆x²＋y²－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是(　　)

A．x＋y－3＝0             B．x－y－3＝0

C．2x－y－6＝0            D．2x＋y－6＝0

4．圆x²＋y²－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)

A．2       B．2(2)       C．1       D．

5．已知圆x²＋y²－2ax－2y＋(a－1)²＝0(0<a<1)，则原点O在(　　)

A．圆内                B．圆外

C．圆上                D．圆上或圆外

6．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是(　　)

A．x－y＝0             B．x＋y＝0

C．x²＋y²＝0            D．x²－y²＝0

二、填空题

7．如果圆的方程为x²＋y²＋kx＋2y＋k²＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．

8．已知圆C：x²＋y²＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．

9．已知圆的方程为x²＋y²－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

三、解答题

10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？

11．如果方程x²＋y²－2(t＋3)x＋2(1－4t²)y＋16t⁴＋9＝0表示一个圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求该圆半径r的取值范围．

能力提升

12．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．

13．求一个动点P在圆x²＋y²＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．

1．圆的一般方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)²＋(y－b)²＝r²．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．

2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．

3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．

4．1．2　圆的一般方程  答案

知识梳理

1．(1)D²＋E²－4F>0　2(E)　2(1)

(2)2(E)

(3)D²＋E²－4F<0

2．>　＝　<

作业设计

1．C　[由一般方程圆心2(E)，半径r＝2(1)两公式易得答案．]

2．D　[表示圆应满足D²＋E²－4F>0．]

3．B　[过M最长的弦应为过M点的直径所在直线．]

4．D　[先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之．]

5．B　[先化成标准方程(x－a)²＋(y－1)²＝2a，将O(0,0)代入可得a²＋1>2a(0<a<1)，即原点在圆外．]

6．D　[圆心应满足y＝x或y＝－x，等价于x²－y²＝0．]

7．(0，－1)

解析　r＝2(1)＝2(1)．

当k＝0时，r最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x²＋y²＋2y＝0，

即x²＋(y＋1)²＝1，圆心坐标为(0，－1)．

8．－2

解析　由题意知圆心2(a)应在直线l：x－y＋2＝0上，即－1＋2(a)＋2＝0，解得

a＝－2．

9．20

解析　点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，

∴|AC|＝10，最短弦BD⊥AC，∴|BD|＝4，S_{四边形ABCD}＝2(1)|AC|�|BD|＝20．

10．解　设过A、B、C三点的圆的方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

则6D－2E＋F＝－40(5D＋5E＋F＝－50)，解得F＝－20(E＝－2)．

所以过A、B、C三点的圆的方程为x²＋y²－4x－2y－20＝0．

将点D(－2，－1)代入上述方程等式不成立．

故A、B、C、D四点不能在同一个圆上．

11．解　(1)方程x²＋y²－2(t＋3)x＋2(1－4t²)y＋16t⁴＋9＝0表示一个圆必须有：

D²＋E²－4F＝4(t＋3)²＋4(1－4t²)²－4(16t⁴＋9)>0，

即：7t²－6t－1<0，

∴－7(1)<t<1．

(2)该圆的半径r满足：

r²＝4(D2＋E2－4F)

＝(t＋3)²＋(1－4t²)²－(16t⁴＋9)

＝－7t²＋6t＋1＝－77(3)²＋7(16)，

∴r²∈7(16)，∴r∈7(7)．

12．解　设圆的一般方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x²＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x₁＋x₂＝－D；令x＝0，得y²＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y₁＋y₂＝－E；

由题设，x₁＋x₂＋y₁＋y₂＝－(D＋E)＝2，

所以D＋E＝－2．              ①

又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，

所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，    ②

1＋9－D＋3E＋F＝0，          ③

由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，

故所求圆的方程为x²＋y²－2x－12＝0．

13．解　设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x₀，y₀)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝2(x0＋3)，y＝2(y0)于是有x₀＝2x－3，y₀＝2y．

因为点P在圆x²＋y²＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x0(2)＋y0(2)＝1，

则(2x－3)²＋4y²＝1，整理得2(3)²＋y²＝4(1)．

所以点M的轨迹方程为2(3)²＋y²＝4(1)．