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第四章　圆与方程

�4.1　圆的方程

4.1.1　圆的标准方程

【课时目标】　1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．

1．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是________________．

2．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________．

一、选择题

1．点(sin θ，cos θ)与圆x²＋y²＝2(1)的位置关系是(　　)

A．在圆上                   B．在圆内

C．在圆外                   D．不能确定

2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　)

A．在圆内                   B．在圆上

C．在圆外                   D．无法判断

3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)²＋(y＋b)²＝1的圆心位于(　　)

A．第一象限                 B．第二象限

C．第三象限           D．第四象限

4．圆(x－3)²＋(y＋4)²＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)

A．(x＋3)²＋(y＋4)²＝1

B．(x＋4)²＋(y－3)²＝1

C．(x－4)²＋(y－3)²＝1

D．(x－3)²＋(y－4)²＝1

5．方程y＝表示的曲线是(　　)

A．一条射线            B．一个圆

C．两条射线            D．半个圆

6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．则此圆的方程是(　　)

A．(x－2)²＋(y＋3)²＝13

B．(x＋2)²＋(y－3)²＝13

C．(x－2)²＋(y＋3)²＝52

D．(x＋2)²＋(y－3)²＝52

二、填空题

7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．

8．圆O的方程为(x－3)²＋(y－4)²＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．

9．如果直线l将圆(x－1)²＋(y－2)²＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．

三、解答题

10．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．

11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．

能力提升

12．已知圆C：(x－)²＋(y－1)²＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．

13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x²＋y²＝4上运动，求|PA|²＋|PB|²＋|PC|²的最值．

1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x₀－a)²＋(y₀－b)²与r²比较．

2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．

3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．

第四章　圆与方程

�4．1　圆的方程

4．1．1　圆的标准方程

答案

知识梳理

1．(x－a)²＋(y－b)²＝r²　x²＋y²＝r²

2．d>r　d＝r　d<r

作业设计

1．C　[将点的坐标代入圆方程，得sin²θ＋cos ²θ＝1>2(1)，所以点在圆外．]

2．B　[点M(5，－7)到圆心A(2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．]

3．D　[(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．]

4．B　[两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y＝x的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x＋4)²＋(y－3)²＝1．]

5．D　[由y＝知，y≥0，两边平方移项，得x²＋y²＝9．∴选D．]

6．A　[设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，

则2(a＋0)＝2⇒a＝4，2(b＋0)＝－3⇒b＝－6．

所以M(4,0)，N(0，－6)．

因为圆心为(2，－3)，

故r＝＝．

所以所求圆的方程为(x－2)²＋(y＋3)²＝13．]

7．(x－4)²＋(y－1)²＝26

解析　圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半．

8．5＋

解析　点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋．

9．[0,2]

解析　由题意知l过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k≤2．

10．解　因为A(1,1)和B(2，－2)，

所以线段AB的中点D的坐标为2(1)，

直线AB的斜率k_AB＝2－1(－2－1)＝－3，

因此线段AB的垂直平分线l′的方程为y＋2(1)＝3(1)2(3)，即x－3y－3＝0．

圆心C的坐标是方程组x－y＋1＝0(x－3y－3＝0，)的解．

解此方程组，得y＝－2.(x＝－3，)所以圆心C的坐标是(－3，－2)．

圆心为C的圆的半径长

r＝|AC|＝＝5．

所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)²＋(y＋2)²＝25．

11．解　设圆的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r² (r>0)．

由题意得(6－a)2＋(1－b)2＝r2(a－3b＝0)．

解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111．

所以圆的方程为(x－3)²＋(y－1)²＝9或(x－111)²＋(y－37)²＝111²．

12．解　由题意得圆心坐标为(，1)，半径为2，则圆心到直线l的距离为d＝2(3－1－5|)＝3－2(6)，则圆C上的点到直线l距离的最大值为3－2(6)＋2，最小值为3－2(6)－2．

13．解　设P点坐标(x，y)，则x²＋y²＝4．

|PA|²＋|PB|²＋|PC|²＝(x＋2)²＋(y＋2)²＋(x＋2)²＋(y－6)²＋(x－4)²＋(y＋2)²＝3(x²＋y²)－4y＋68＝80－4y．

∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|²＋|PB|²＋|PC|²≤88．

即|PA|²＋|PB|²＋|PC|²的最大值为88，最小值为72．