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2.2.2　平面与平面平行的判定

【课时目标】　1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．

1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥β，直线a⊂α，则a与β的位置关系为________．

2．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(M，n为直线，α，β为平面)，则此条件应为________．

　　　　　　　(n∥β)⇒α∥β

一、选择题

1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出(　　)

A．0个                    B．1个

C．0个或1个              D．1个或2个

2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(　　)

A．α内有无数条直线平行于β

B．α内不共线三点到β的距离相等

C．l、M是平面α内的直线，且l∥α，M∥β

D．l、M是异面直线且l∥α，M∥α，l∥β，M∥β

3．给出下列结论，正确的有(　　)

①平行于同一条直线的两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；

④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．

A．1个        B．2个       C．3个        D．4个

4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且AD/∈α，则(　　)

A．α∥平面ABC

B．△ABC中至少有一边平行于α

C．△ABC中至多有两边平行于α

D．△ABC中只可能有一边与α相交

5．正方体EFGH—E₁F₁G₁H₁中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是(　　)

A．平面E₁FG₁与平面EGH₁

B．平面FHG₁与平面F₁H₁G

C．平面F₁H₁H与平面FHE₁

D．平面E₁HG₁与平面EH₁G

6．两个平面平行的条件是(　　)

A．一个平面内一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面

D．两个平面都平行于同一条直线

二、填空题

7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为______．

8．有下列几个命题：

①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；

②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；

③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；

④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，

则α∥β．其中正确的有________．(填序号)

9．如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是棱CC₁、C₁D₁、D₁D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B₁BDD₁．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，S是B₁D₁的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD₁B₁．

11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

(1)求证：平面MNG∥平面ACD；

(2)求S_△MNG∶S_△ADC．

能力提升

12．三棱柱ABC－A₁B₁C₁，D是BC上一点，且A₁B∥平面AC₁D，D₁是B₁C₁的中点．

求证：平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

13．如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，P是DD₁的中点，设Q是CC₁上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D₁BQ∥平面PAO?

判定或证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

2．2．2　平面与平面平行的判定  答案

知识梳理

1．无　a∥β　2．M，n相交

作业设计

1．C　2．D　3．B　4．B　5．A　6．C　7．b∥β或b⊂β

8．③

解析　①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．

9．M∈线段FH

解析　∵HN∥BD，HF∥DD₁，

HN∩HF＝H，BD∩DD₁＝D，

∴平面NHF∥平面B₁BDD₁，

故线段FH上任意点M与N连接，

有MN∥平面B₁BDD₁．

10．

证明　如图所示，连接SB，SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，

∴FG∥SD．

又∵SD⊂平面BDD₁B₁，FG⊄平面BDD₁B₁，

∴直线FG∥平面BDD₁B₁．

同理可证EG∥平面BDD₁B₁，

又∵EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，

EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD₁B₁．

11．(1)证明　(1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

则有MP(BM)＝NF(BN)＝GH(BG)＝2，

且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．

连接PF，FH，PH，有MN∥PF．

又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，

∴MN∥平面ACD．

同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD．

(2)解　由(1)可知PH(MG)＝BH(BG)＝3(2)，

∴MG＝3(2)PH．

又PH＝2(1)AD，∴MG＝3(1)AD．

同理NG＝3(1)AC，MN＝3(1)CD．

∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．

∴S_△MNG∶S_△ACD＝1∶9．

12．

证明　连接A₁C交AC₁于点E，

∵四边形A₁ACC₁是平行四边形，

∴E是A₁C的中点，连接ED，

∵A₁B∥平面AC₁D，ED⊂平面AC₁D，

∴A₁B与ED没有交点，

又∵ED⊂平面A₁BC，A₁B⊂平面A₁BC，

∴ED∥A₁B．

∵E是A₁C的中点，∴D是BC的中点．

又∵D₁是B₁C₁的中点，

∴BD₁∥C₁D，A₁D₁∥AD，

∴BD₁∥平面AC₁D，A₁D₁∥平面AC₁D．

又A₁D₁∩BD₁＝D₁，∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

13．解　当Q为CC₁的中点时，

平面D₁BQ∥平面PAO．

∵Q为CC₁的中点，P为DD₁的中点，

∴QB∥PA．

∵P、O为DD₁、DB的中点，∴D₁B∥PO．

又PO∩PA＝P，D₁B∩QB＝B，

D₁B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

∴平面D₁BQ∥平面PAO．