新万博软件2018|ManBeTx最新动态|ManBeTx移动版

�2.2　直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1　直线与平面平行的判定

【课时目标】　1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．

1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．

2．直线与平面平行的判定定理：

______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．

一、选择题

1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b⊂α，则a∥b．

其中正确说法的个数是(　　)

A．0       B．1        C．2      D．3

2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是(　　)

A．b∥α               B．b与α相交

C．b⊂α               D．b∥α或b与α相交

3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(　　)

A．平行              B．相交

C．平行或相交        D．AB⊂α

4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是(　　)

A．平行              B．相交

C．在内              D．不能确定

5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　)

A．不存在            B．只能作出一个

C．能作出无数个      D．以上都有可能

6．过平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB₁D₁平行的直线共有(　　)

A．4条    B．6条    C．8条    D．12条

二、填空题

7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．

8．如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的面中：

(1)与直线AB平行的平面是________；

(2)与直线AA₁平行的平面是______；

(3)与直线AD平行的平面是______．

9．在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点，则BD₁与过点A，E，C的平面的位置关系是______．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC、C₁D₁的中点．

求证：EF∥平面BDD₁B₁．

11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．

求证：EF∥平面PBC．

能力提升

12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)

13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)

直线与平面平行的判定方法

(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．

(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．

�2．2　直线、平面平行的判定及其性质

2．2．1　直线与平面平行的判定

答案

知识梳理

1．无

2．平面外　此平面内　a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α

作业设计

1．A　[①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．]

2．D　3．C　4．A　5．D

6．D

　[如图所示，与BD平行的有4条，与BB₁平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB₁D₁D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]

7．无数

8．(1)平面A₁C₁和平面DC₁　(2)平面BC₁和平面DC₁　(3)平面B₁C和平面A₁C₁

9．平行

解析　设BD的中点为F，则EF∥BD₁．

10．证明　取D₁B₁的中点O，

连接OF，OB．

∵OF綊2(1)B₁C₁，BE綊2(1)B₁C₁，

∴OF綊BE．

∴四边形OFEB是平行四边形，

∴EF∥BO．

∵EF⊄平面BDD₁B₁，

BO⊂平面BDD₁B₁，

∴EF∥平面BDD₁B₁．

11．证明　连接AF延长交BC于G，连接PG．

在▱ABCD中，

易证△BFG∽△DFA．

∴FA(GF)＝FD(BF)＝EA(PE)，

∴EF∥PG．

而EF⊄平面PBC，

PG⊂平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

12．①③

13．证明　方法一　如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN．

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，

∴AE＝BD．

又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．

又∵PM∥AB∥QN，∴AB(PM)＝AE(PE)，DC(QN)＝BD(BQ)．

∴PM綊QN．

∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．

又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE．

方法二　如图(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连接EK．

∵KB∥AD，∴BQ(DQ)＝QK(AQ)．∵AP＝DQ，AE＝BD，

∴BQ＝PE．

∴BQ(DQ)＝PE(AP)．∴QK(AQ)＝PE(AP)．∴PQ∥EK．

又PQ⊄面BCE，EK⊂面BCE，∴PQ∥面BCE．