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2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

【课时目标】　1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4解决一些简单的相关问题．

1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：______________、________________、________________．

2．异面直线的定义

________________________________的两条直线叫做异面直线．

3．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．

4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．

5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是________．

一、选择题

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)

A．异面                B．平行

C．相交                D．以上都有可能

2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)

A．异面或平行          B．异面或相交

C．异面                D．相交、平行或异面

3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)

A．一定平行           B．一定相交

C．一定异面           D．相交或异面

4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)

A．空间四边形         B．矩形

C．菱形               D．正方形

5．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l₁，l₂是异面直线，则与l₁，l₂都相交的两条直线是异面直线．

其中假命题的个数是(　　)

A．1        B．2        C．3        D．4

6．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN≥2(1)(AC＋BD)

B．MN≤2(1)(AC＋BD)

C．MN＝2(1)(AC＋BD)

D．MN<2(1)(AC＋BD)

二、填空题

7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60�，则β为________．

8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为________；

(2)AD与BC′所成的角为________．

9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60�；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD．

以上结论中正确结论的序号为________．

三、解答题

10．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30�，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

11．已知棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱CD、AD的中点．

求证：(1)四边形MNA₁C₁是梯形；

(2)∠DNM＝∠D₁A₁C₁．

能力提升

12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．

13．正方体AC₁中，E、F分别是面A₁B₁C₁D₁和AA₁DD₁的中心，则EF和CD所成的角是(　　)

A．60�     B．45�      C．30�       D．90�

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．

2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0�，90�]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．

作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

2．1．2　空间中直线与直线之间的位置关系  答案

知识梳理

1．相交直线　平行直线　异面直线

2．不同在任何一个平面内

3．互相平行

4．平行　相等　互补

5．a′∥a　b′∥b　锐角(或直角)　直角　(0�，90�]

作业设计

1．D

2．D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]

3．D

4．B　[

易证四边形EFGH为平行四边形．

又∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴EF∥AC，

又FG∥BD，

∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．

而AC与BD所成的角为90�，

∴∠EFG＝90�，

故四边形EFGH为矩形．]

5．B　[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．

④如图甲时，c、d与异面直线l₁、l₂交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；

当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．

]

6．D

　[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝2(1)AC，

NE＝2(1)BD，

所以ME＋NE＝2(1)(AC＋BD)．

在△MNE中，有ME＋NE>MN，

所以MN<2(1)(AC＋BD)．]

7．60�或120�

8．(1)60�　(2)45�

解析　

连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．

由△A′BC′为正三角形，

知∠A′BC′＝60�，

由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．

易知∠C′BC＝45�．

9．①③

解析　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

10．解　取AC的中点G，

连接EG、FG，

则EG∥AB，GF∥CD，

且由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．

∵AB与CD所成的角为30�，

∴∠EGF＝30�或150�．

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30�时，∠GEF＝75�；

当∠EGF＝150�时，∠GEF＝15�．

故EF与AB所成的角为15�或75�．

11．证明　(1)如图，连接AC，

在△ACD中，

∵M、N分别是CD、AD的中点，

∴MN是三角形的中位线，

∴MN∥AC，MN＝2(1)AC．

由正方体的性质得：AC∥A₁C₁，AC＝A₁C₁．

∴MN∥A₁C₁，且MN＝2(1)A₁C₁，即MN≠A₁C₁，

∴四边形MNA₁C₁是梯形．

(2)由(1)可知MN∥A₁C₁，又因为ND∥A₁D₁，

∴∠DNM与∠D₁A₁C₁相等或互补．

而∠DNM与∠D₁A₁C₁均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM＝∠D₁A₁C₁．

12．②④

解析　①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，

∴HG、MN必相交．

13．B　[

连接B₁D₁，则E为B₁D₁中点，

连接AB₁，EF∥AB₁，

又CD∥AB，∴∠B₁AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B₁AB＝45�．]