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第二章　点、直线、平面之间的位置关系

�2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1　平　面

【课时目标】　掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．

1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内．

符号：________________________________．

2．公理2：过________________________________的三点，________________一个平面．

3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．

符号：________________________________．

4．用符号语言表示下列语句：

(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．

(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．

(3)直线l在面α内也在面β内：____________．

(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：________________________．

一、选择题

1．下列命题：

①书桌面是平面；

②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；

④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．

其中正确命题的个数为(　　)

A．1       B．2       C．3      D．4

2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作(　　)

A．M∈b∈β            B．M∈b⊂β

C．M⊂b⊂β            D．M⊂b∈β

3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)

A．1条或2条          B．2条或3条

C．1条或3条          D．1条或2条或3条

4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合

5．空间中可以确定一个平面的条件是(　　)

A．两条直线            B．一点和一直线

C．一个三角形          D．三个点

6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有(　　)

A．2个或3个          B．4个或3个

C．1个或3个          D．1个或4个

二、填空题

7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．

(1)Aα，a⊂α________．

(2)α∩β＝a，PD/∈α且Pβ________．

(3)a⊄α，a∩α＝A________．

(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．

8．已知α∩β＝M，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为________．

9．下列四个命题：

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；

②经过空间任意三点有且只有一个平面；

③过两平行直线有且只有一个平面；

④在空间两两相交的三条直线必共面．

其中正确命题的序号是________．

三、解答题

10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．

11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

能力提升

12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．

13．如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C与平面BDC₁交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA₁的中点．

求证：(1)C₁、O、M三点共线；(2)E、C、D₁、F四点共面；

(3)CE、D₁F、DA三线共点．

1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．

3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．

第二章　点、直线、平面之间的位置关系

�2．1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2．1．1　平　面

答案

知识梳理

1．两点　这条直线　A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

2．不在一条直线上　有且只有

3．一个　一条　P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

4．(1)A∈α，A∉β　(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l　(3)l⊂α且l⊂β　(4)M⊂α，n⊂α且M∩n＝A

作业设计

1．A　[由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．]

2．B　3．D

4．C　[∵A∈α，A∈β，

∴A∈α∩β．

由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．

故α∩β＝A的写法错误．]

5．C

6．D　[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]

7．(1)C　(2)D　(3)A　(4)B

8．A∈M

解析　因为α∩β＝M，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．

9．③

10．解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．

∵E∈AC，AC⊂平面SAC，

∴E∈平面SAC．

同理，可证E∈平面SBD．

∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，

直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．

11．证明　因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．

12．证明　

∵l₁⊂β，l₂⊂β，l₁l₂，

∴l₁∩l₂交于一点，记交点为P．

∵P∈l₁⊂β，P∈l₂⊂γ，

∴P∈β∩γ＝l₃，

∴l₁，l₂，l₃交于一点．

13．证明　(1)∵C₁、O、M∈平面BDC₁，

又C₁、O、M∈平面A₁ACC₁，由公理3知，点C₁、O、M在平面BDC₁与平面A₁ACC₁的交线上，

∴C₁、O、M三点共线．

(2)∵E，F分别是AB，A₁A的中点，

∴EF∥A₁B．

∵A₁B∥CD₁，

∴EF∥CD₁．

∴E、C、D₁、F四点共面．

(3)由(2)可知：四点E、C、D₁、F共面．

又∵EF＝2(1)A₁B．

∴D₁F，CE为相交直线，记交点为P．

则P∈D₁F⊂平面ADD₁A₁，P∈CE⊂平面ADCB．

∴P∈平面ADD₁A₁∩平面ADCB＝AD．

∴CE、D₁F、DA三线共点．