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�1.3　空间几何体的表面积与体积

1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

【课时目标】　1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．

1．旋转体的表面积

2．体积公式

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．

(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(1)(S′＋＋S)h．

一、选择题

1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为(　　)

A．8        B．π(8)        C．π(4)        D．π(2)

2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为(　　)

A．2π(1＋2π)    B．4π(1＋4π)    C．π(1＋2π)    D．2π(1＋4π)

3．中心角为135�，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于(　　)

A．11∶8    B．3∶8     C．8∶3     D．13∶8

4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为(　　)

A．a∶b    B．b∶a     C．a²∶b²     D．b²∶a²

5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为(　　)

A．24π cm^2,12π cm³             B．15π cm^2,12π cm³

C．24π cm^2,36π cm³             D．以上都不正确

6．三视图如图所示的几何体的全面积是(　　)

A．7＋        B．2(11)＋         C．7＋          D．2(3)

二、填空题

7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．

8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm³．

9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．

三、解答题

10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180�，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)

11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

能力提升

12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．2π＋2                     B．4π＋2

C．2π＋3(3)                     D．4π＋3(3)

13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．

1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．

2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为

V_柱体＝ShS′＝S(――→)V_台体＝3(1)h(S＋＋S′)S′＝0(――→)V_锥体＝3(1)Sh．

4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．

�1．3　空间几何体的表面积与体积

1．3．1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

答案

知识梳理

1．πr²　2πrl　πr²　πrl　πr(r＋l)　πr′²　πr²　π(r′＋r)l

π(r′²＋r²＋r′l＋rl)

2．(1)Sh　(2)3(1)Sh

作业设计

1．B　[易知2πr＝4，则2r＝π(4)，

所以轴截面面积＝π(4)�2＝π(8)．]

2．A　[设底面半径为r，侧面积＝4π²r²，全面积为＝2πr²＋4π²r²，其比为：2π(1＋2π)．]

3．A　[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

则2πr＝4(3)πl，则l＝3(8)r，所以

A＝3(8)πr²＋πr²＝3(11)πr²，B＝3(8)πr²，得A∶B＝11∶8．]

4．B　[以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝3(1)πb²a，以长为b的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝3(1)πa²b．]

5．A　[该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm^2,12π cm³．]

6．A　[图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，，表面积S_表面＝2S_底＋S_侧面＝2(1)(1＋2)�1�2＋(1＋1＋2＋)�1＝7＋．]

7．3

解析　由题意知，

圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，

即2πr�3＝2πr²，所以r＝3．

8．π(288)或π(192)

解析　(1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝π(6)，

所以V＝π�π(6)²�8＝π(288)(cm³)．

(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r＝π(4)，

所以V＝π�π(4)²�12＝π(192) (cm³)．

9．3(8 000) cm³

解析　由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，

V＝3(1)Sh＝3(8 000) cm³．

10．解　

如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180�，

故c＝π�SA＝2π�10，

所以SA＝20，同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20，

∴S_表面积＝S_侧＋S_上＋S_下

＝π(r₁＋r₂)�AB＋πr1(2)＋πr2(2)

＝π(10＋20)�20＋π�10²＋π�20²＝1 100π(cm²)．

故圆台的表面积为1 100π cm²．

h＝＝＝10，

V＝3(1)πh(r1(2)＋r₁r₂＋r2(2))

＝3(1)π�10�(10²＋10�20＋20²)＝3(3)π (cm³)．

即圆台的表面积为1 100π cm²，体积为3(3)π cm³．

11．

解　如图，E、E₁分别是BC、B₁C₁的中点，O、O₁分别是下、上底面正方形的中心，则O₁O为正四棱台的高，则O₁O＝12．

连接OE、O₁E₁，则OE＝2(1)AB

＝2(1)�12＝6，O₁E₁＝2(1)A₁B₁＝3．

过E₁作E₁H⊥OE，垂足为H，

则E₁H＝O₁O＝12，OH＝O₁E₁＝3，

HE＝OE－O₁E₁＝6－3＝3．

在Rt△E₁HE中，E₁E²＝E₁H²＋HE²＝12²＋3²

＝3²�4²＋3²＝3²�17，

所以E₁E＝3．

所以S_侧＝4�2(1)�(B₁C₁＋BC)�E₁E

＝2�(12＋6)�3＝108．

12．C　[该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为3(1)�()²�＝3(3)，所以该几何体的体积为2π＋3(3)．]

13．解　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1．

考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．

∴S_表＝2S_下＋S_侧

＝2�2²＋4�[2²＋()²＋1²]＝36．

∴该几何体的表面积为36．