1.基于数学史的数列教学在课堂教学各个环节的体现

1.新课改背景下课堂教学环节的变化

社会需要的新型人才是富有开拓创新思想的人才，这在传统模式教育下的学生是达不到要求的，这就需要学校改变传统教育模式，培养适应当前社会需求的人才。新新万博软件2018 不仅是教材的改革，还是观念的改革。传统教育是以知识传授为主的单向传输的过程。随着教育实践的发展，这种传统教育模式受到了挑战，新的教学目标应该是三维的，即情感、态度、价值观的培养。

数学新万博软件2018 的核心环节是数学课程的实施，而课程实施的基本途径是课堂教学。新课标的提出，正是指引着数学课堂的不断更新和完善，优化课堂教学的目的在于使其每一个教学环节都尽可能合理化、科学化。新课改背景下数学课堂教学的四个环节就是：新课导入、主题探究、巩固强化、总结拓展。在设计教学环节的时候要紧紧抓住两个原则：一是课堂教学环节的优化要有利于发挥学生的学习的主体作用；二是课堂教学的每一环节要符合学生认识发展和心理活动的规律性。

中国有句古话：“良好的开端是成功的一半。”新课导入环节与该节课的教学效果有着密切的联系。“一石激起千层浪”，如果一下子能把学生的心抓住，集中起他们的注意力，激发起他们的求知欲，那么，就能为后面的教学环节创造优越的条件。作为课堂教学重要的一环，新课的引入要注意创设情景，引导学生积极开展思维活动。学生对知识的接受和转化总是建立在已有知识的基础上的，教师要善于从相关联的旧知识中选择新知识的生长点，从学生已有经验出发，通过情境设置，提出具有启发性和思考性的问题，激发起学生探索新知识的兴趣。具体在课堂引入的时候，教师还要注意以下几点：首先，要根据既定的教学目标，创设的情境要与教材内容和学生生活实际相适应，防止脱离，牵强附会。比如有些应用题的编制与学生的生活实际没有交集，就是为了应用题而编题了。第二，注意引入的情境要有趣味性，适合学生的心理发展，符合他们的年龄特点。当他们有了兴趣，才能用最短的时间进入课堂教学的最佳状态，才能欣然随之。第三，创设教学情境时提出的问题对学生接下来要学习的内容要具有启发性，以便使学生尽快联系到新知识的学习中，实现知识的迁移。最后，课堂引入的时间不能太长，不能喧宾夺主。

课堂教学的第二个环节是主题探究，是课堂教学的中心环节，是学习知识、培养能力、感知方法的主要途径。传统的教学模式中把这个环节称作“讲授新课“。 “探究”指师生对本课主题的学习和研究，这不同于传统教学模式中教师的“一言堂”，这正体现了新课程的核心：数学课程目标是要将提高学生的数学素养放在首位，尤其要发展学生的思维能力。“教学有法，教无定法”，每位教师的讲课方法和备课教案虽然不同，但是有几个方面是要共同注意的：(1)在主题探究过程中，要以学生为主体，教师为主导。教师要善于设疑，适当启发引导，让学生充分思维、积极参与到学习活动中去。特别是当学生产生困难时，教师就要抓住这个发展学生思维的契机，对学生进行启发引导，及时鼓励他们增强自信，为学生指路，进一步激发他们的创造性。尽量引导学生自己去尝试、发现并解决问题。(2)在传统授课模式中，知识靠教师的空讲，很多时候将学生送入了梦乡。现在讲究信息技术和课程的整合，教师可以利用有利条件，利用静态的图片或者是动态的影片来吸引学生注意，调动他们的学习热情，也降低知识的理解难度。(3)在引导学生积极思考、探索之后，再引导学生将思维的过程或结论概括成简练的数学语言并加以表述，这可以发展学生的数学思维和语言组织能力。同时也是在传授知识的同时，注意了对学生能力的培养和学习方法的指导。

第三个环节是巩固强化，是为了达到巩固新识，培养能力，发展智力的目的。巩固强化主要通过学生练习来实现，练习不仅有助于学生对知识的理解和巩固，形成熟练的技能和技巧，并且对学生数学智能的发展起着重要作用。教师在组织课堂练习的时候要注意目的性、及时性、多样性和层次性。目的性就是要围绕教学目标进行，帮助学生掌握和加深对基本知识点的理解；及时性就是要对当堂所学内容的及时巩固和反复强调；多样性就是利用题目形式的多样(填空、选择、辨析、解答等)和回答形式的多样(口答、板书、接力等)来提高学生解题的兴趣，达到比较好的教学效果；层次性就是注意学生认知水平的发展特点，由简到难，逐步递进，也是实现分层教学的需要。然而习题的解决并不是巩固练习环节的结束，更为重要的是评价和总结。每一个同学的回答之后，教师都要进行评价，及时给予激励性的评价和对出现的问题要予以纠正，特别是当学生在下面做题时，教师要多加观察，及时捕捉各种信息，把暴露出来的问题有针对性地进行讲解，也要给学生发表意见的空间，真正能通过反馈达到强调的作用。因此，巩固强化的环节，要求教师立足课本，适当根据学生实际来进行补充，精心组织练习，通过题目(分析)——解答一评价(审题、解题思路、答题技巧)，实现理论与实践的结合，教与学信息的反馈。

课堂教学的最后一个环节是总结拓展。传统课堂教学的最后，教师总要对本节课的知识点和方法进行整理、归纳、小结，将所学知识纳入学生已有的认知结构中。然而，新课程理念告诉我们，在关注学生认知的同时，也要关注学生思维能力的培养，数学素养的提高和学生思维的发展。课堂应该是让学生“带着阀号来，带着问号走“。因此总结拓展的内容应该包括：知识的总结整理、方法的归纳小结和留下伏笔。知识的总结整理是为了揭示知识点之间的内在联系，做到知识条理化，便于理解记忆。而方法的归纳小结，是对学生解题方法的指导和数学思维能力的培养。而这应该是在教师引导下，要求学生主动进行的。教师要引导学生注意突出基础知识和基本技能，提炼归纳本节课所体现的数学思想方法。在学生总结之后，教师要及时通过评价及时给予表扬和鼓励，促进学生更好地思考，养成他们归纳反思的学习习惯。而设下伏笔，是为后续教学或者学生的自主探究服务。教师设置的疑问，使趋于平静的课堂再起波澜。这种置疑可以是下节课要解决的问题，也可以延伸到课外。一节课的总结拓展部分做得好，既能使本堂课的教学内容得到总结和提炼，也能为学生的继续学习拓展新的道路。

2.数列这一章节的内容、作用地位和教育价值(人教版)

主要内容：数列的有关概念、等差数列和等比数列、简单的递推数列、数列的极限、无穷等比数列各项的和、数列的实际应用问题、数学归纳法和归纳一猜想一论证。

作用地位：数列是反映自然规律的基本数学模型之一，有着较为广泛的实际应用。学生通过对日常生活和现实世界中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列两种数学模型。数列是定义域为正整数集(或其子集)的函数。

通过对数列的学习，拓展学生对于函数模型的认识和使用函数模型的能力，同时也为极限等内容的学习作了铺垫。数列在实际应用中已经开始显现出它的作用，比如在产品尺寸标准化方面。例如在我国己颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准，就是按照等比数列对产品尺寸进行分级的。数学归纳法是利用有限步骤证明与正整数n有关的数学命题的简单有效的方法，可以用来证明某些与数列有关的公式，因此与数列放在同一章。为讨论无穷等比数列各项的话，在本章中初步学习了数列极限的概念。另外，这一章节的内容在整个高中数学教学内容中，处于数学知识和数学方法的汇合点，许多知识都与数列有着密切的联系。以前学过的数、式、方程、函数和简易逻辑等知识在本章均能得到较为充分的应用。特别是与函数知识的密切联系，有利于学生用函数的观点来认识数列本质，反过来也使学生对函数的认识深化一步。因此，数列这一章节的学习对掌握整个高中数学的基本知识和基本技能有着重要作用。

教育价值：首先，数列这一章节包含了许多数学概念、公式、法则，同时也蕴含了不少数学思想方法。比如渗透整体思想、函数方程思想、化归转化思想、数形结合思想、归纳类比思想等等。在教学过程中，学生通过观察、感受、尝试、．探索、交流、合作，能真正地体验知识的发生、发展的全过程，感性地掌握数列的基础知识，建立良好的有关数列知识的认知结构。在学习的过程中，培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，促进学生的自我完善、自我建构。在学习数学归纳法的过程中，要通过经常观察、分析、归纳、猜想，这些是培养学生观察问题、发现问题、思考问题并解决问题能力的重要素材。其次，数列知识具有广泛的实际应用，如堆放物品总数的计算、产品规格设计、分期付款、教育储蓄等等，这些都体现了数学源于生活、服务于生活的特点，可以帮助学生在生活中体验数列的产生背景，培养学生的数学应用意识。与此同时数列的实际应用问题、开放探索性问题等能使学生的逻辑思维能力、归纳思维能力、创新意识和实践能力也得到提高。第三，在报刊杂志上，学生会看到关于宇宙是无限的报道。但究竟什么是无限?学生的理解是模糊而不具体的。在本章中，无穷数列、数学归纳法和数列极限等内容为学生理解“无限”提供了一些数学模型，使他们对“无限”有了进一步的认识，从而促进他们形成正确的宇宙观。数列极限内容反映了量变到质变的辩证规律。

3.教材在结合数学史方面的编排特点

首先，新教材中的情景创设旁征博引，能充分激发起学生的求知欲。比如：《数列》一章的开篇，引用了中国古代周庄所著的《庄子．天下篇》中的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”及其讲解拉开序幕，使学生能通过开篇首先了解数列的概念及其本质。

在数列的定义的一节内容中，教材首先通过历数食品罐头排放所形成的数’列、正整数倒数所成的数列√3，的不足近似值按小数位数从少到多得次序排成的-N数、一2的正整数幂排成的一列数、无穷多个1排成的一列数，接着画面一转，则开始欣赏波兰数学家谢尔宾斯基的奇妙三角形，⋯⋯。古今中外，历数数列的发展史，展现着数学与大干世界的相关。

在等差数列求和的情景创设中，新教材引用了德国数学家高斯少年时的故事——前100个自然数求和，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路。

在等比数列得定义和通项公式这节开头，利用细胞分裂，自然吸引学生学习新知识。在等比数列求和的情景创设中，为了引起学生的兴趣，用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子。它用一个麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难以获问题答案的悬念。而学了等比数列的前n项和后，发现想象和实际之间是存在如此大的差异，更树立了学生用科学的方法解决实际问题的信念。

在极限的运算法则这节课的开头，介绍了古希腊数学家、物理学家阿基米德在数学上的贡献，他用极限思想求出了许多几何图形的面积和体积。数学家的刻苦钻研和成就也激励着学生数学的学习，巧妙地方法吸引着学生进行本节的学习。

第二，教材在主要定义、概念的阐述中也注意结合数学史。例如在数学归纳法的步骤讲解中，利用了一则多米诺骨牌效应。这不仅形象生动地表达了数学归纳法的应用原理，而且化深奥为浅显，使学生能更容易理解数学归纳法的应用原理，同时感受数学归纳法的严谨、科学、美丽。这正是启发学生思考问题的好素材。

第三，教材更以阅读材料和探究与实践的形式，让学生感受这种学习方式的价值，培养学生的探究意识，是一种真正意义上的数学学习。教材中有阅读材料斐波那契数列(英文)、雪花曲线和探究与实践：数列极限在面积计算中的应用(圆周率)。这些开放、探索、应用、研究性的问题，为培养学生的探索性思维能力，增强问题意识提供了很好的素材，促进了学生学习方式的转变，培养了学生的学习能力，为学生的研究性学习提供了广阔的天地。注意引导学生把所学的知识用到相关的学科和生活生产实际中去，不仅使学生在获取知识和运用知识的同时发展思维能力，而且使学生能够运用已有的知识进行交流，并能将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。同时也使学生能充分认识到数学“源于生活、服务生活”的辨证观点。

教材将数学史的资料丰富进了学生的课本，这对于学生的学习和教师的引导应该说是起到了一种导向的作用。然而，教材是为师生服务的，怎么用好教材，还是要进行一系列的加工和处理的。关键是要真正适合学生，对学生的发展有帮助。因此教材中的史料也仅仅是参考，关键还是看教师在各个环节中实际的应用。

4.利用数学史创设情境，实现新课导入

利用数学史创设情境的内容可以以数学家故事和数学历史创设趣味型问题情境，也可以以数学知识的产生、发展过程创设知识型问题情境，也可以以数学知识的实用价值创设应用型问题情境。建构主义学习观认为，学习是在一定情境中的意义建构。创设情境就是在讲授内容和学生求知心理间制造一种“不协调“，将学生引入一种与问题有关的情境中。在情境中，利用生动直观的形象或者生动有趣的故事有效地激发学生的联想，唤醒学生长时记忆中的有关知识、经验和表象，从而使学生利用原有认知结构通过同化和顺应以达到对新知识的意义构建。

这种体验也是情感、态度和价值观的确立和转变的条件。这种积极体验，不会在知识的灌输中被激发，而是通过教学情境来激发、引出和培育的。在学生尚没有明确的学习目的，或者对学习缺乏动力的时候，通过创设教学情境，教师可以让学生感受到即将要学习的内容的意义，从而激发学生对学习新知识的强烈欲望。

利用数学史来创设情境的原则主要有情感性原则和主体性原则。首先，情感性原则要适应学生身心发展的规律。高中学生不仅关注有趣味性、有新鲜感的事物，而且更关注数学的使用性，也就是数学的“有用“的数学。同时，他们开始有比较强烈的自我意识和自我发展的意识，对与自己的直观经验相冲突的现象或“有挑战性”的任务更感兴趣。因此，在数学史资料选取的时候，应该关注数学的数学内容的趣味性和实际应用，以及能与学生认知产生矛盾的内容。第二，主体性原则是创设教学情境的核心。就是应当设法给学生经历“做数学“的机会，就是要求教师在数学教学中，要善于为学生提供思考问题的空间，即一定的问题情境。苏霍姆林斯基说过：“在人的心理深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。“创设情境注意学生的主体性正是为了满足学生的这一种需要，教师创设的情境要能促使学生积极思考和参与活动，学生在自己参与的活动中会产生许多复杂的心理体验，这些会深深地刺激他接下去完成新知识的建构。而只有注意了学生的主体性才能充分调动学生各方面心理生理因素，使学生增强内在驱动力，从而能够自主学习，才能达到比较好的效果。

5.利用数学史内化新知，促进主题探究

主题探究是课堂教学的第二个环节，也是课堂教学的中心环节。在这个环节中，学生在教师的引导下学习新知、培养能力、学习方法。而在这个环节中数学史的运用，则有助于内化新知，促进知识的建构。数学史有助于数学课堂教学的一个重要理论基础就是学生对数学知识的认知过程和历史上该知识的发展过程存在着一定的相似性，因此作为教师，如果可以利用数学史将数学知识的推导演绎过程按照自然的顺序呈现给学生，让学生亲历发现的过程，而不是单单将结论演绎给学生，将更加深学生对知识的理解。因此作为教师，在备课的过程中，也应该了解本节课知识点的形成发展过程，确定其中关键的发展步骤，这样，也能比较好地掌握何时将出现认知障碍。然后再按照课堂和学生的实际情况重新设计、构建这些关键步骤，利用历史材料和历史故事设计教学方案。

所谓知识的内化，就是把外部的客体的知识转化为内部的主体的知识。很多教育者都认识到，只有学生在学习的过程中，是用自己的体验来形成经验，是用自己的积极的思维来建构的数学知识，才能真正实现知识的内化。那么教师在教学过程中，就要善于抓住契机，善于创设问题情境，引导学生把已有经验和书本知识相联系，进行思维加工，在探索新知过程中积极体验，在体验的过程中将对知识的感知和学习方法的感知内化为自身的东西。

数学史上的故事和资料可以成为我们教师设计教学过程的灵感，但是并非是简单重复。因为历史和教学毕竟是两码事，所面对的人也不一样。弗莱登塔尔指出：“我们不应该重蹈发明者的足迹，而是通过改良使历史过程有更好的引导作用。”对于教师来说，要对不同水平不同类型的学生，有的放矢、恰如其分地利用数学史设计出即符合学生认知发展又不影响正常教学计划、不会对学生知识建构产生“负迁移“的教学方案。教师应充分地估计到学生在探究过程中可能遇到的问题和困难，并适当地予以指导。教师引导学生亲自去尝试错误和成功的体验，从中体会知识产生和形成的过程，在获得新知识的同时得到更高层次的感悟和体验。这样就会更有利于学生对形式化的知识进行正确理解和应用，同时学生的数学思维也会从中得到很好的训练和发展。

利用数学史激活思维，整合巩固强化

前面两个教学中的环节是学生自主学习、合作探究的过程，是学生新知识建构和内化的过程。但学生的认知水平和能力毕竟是有限的，在很短的时间内对某些概念的理解远没有透彻，也不能熟练地利用公式定理来解题。这就需要教师指引学生进入第三个环节——巩固强化。巩固强化是课堂教学的重要环节，一般发生在主题探究之后，巩固的目的就是强化。使学生在掌握知识的同时，还能利用知识来解决问题，更使学生的思维能力得到了效的锻炼。

强化巩固要在理解的基础上，要使学生知识掌握得比较牢固，首先要在主题探究时要使学生深刻理解，留下极深的印象，之前讲的利用数学史就是一种很好的方法。因为学习知识就是一个从理解到记忆，再到运用，促进了深入理解，然后牢固掌握，最后熟练应用的过程。其次，在练的过程中教师要精心设计，科学安排，这样才能使每节课的练习真正达到巩固知识、开拓思路、培养思维的目的。

如果能从数学发展的轨迹中寻找有用的素材作为养料，那么课堂教学就会生动得多，既能提升学生的数学素养，也能对学生所学的知识进行巩固。对于那些需要通过重复训练才能使学生掌握的基本技能，与课堂内容相关的数学史上的名题可以使这种枯燥乏味的过程变得有趣和具有探索意义，因为对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣和具有实际意义，从而能极大地调动学生的积极性，不但能活跃课堂气氛，而且有助于他们更好地接纳新知识增强自信心。历史名题的提出一般来说都是非常自然而然的，揭示着当时的数学背景和社会背景。同时，许多历史名题与大数学家有关，如果学生知道他正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，甚至于这个问题还难住了许多有名的人物，学生会感到挑战，也会从中获得成功的体验。这有助于学生建立良好的情感体验。中国古代的《九章算数》，《孙子算经》等书籍中就有许多和等比数列有关的题目，可见中国古代在数学研究上的成就是非常大的。当学生能解决这类问题时，既是一种爱国主义教育，也是数学和其他学科的整合，更是一种激励，激励他们站在古人的肩膀上继续研究数学，培养探索创新的精神。又比如在讲解数学归纳法时可以用一些数学史上的例子，在巩固知识的同时也是让学生更多地了解数学发展的阶段和文化背景，得到感悟和体验。