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导数练习题

副标题

一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.         设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是

A.
B.
C.
D.
 

【答案】C

【解析】解：由题意可知： ，函数是增函数， ，函数是减函数；
是函数的极大值点， 是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是C．
故选：C．
利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值，然后判断选项即可．
本题考查函数的导数与函数的图象的关系，判断函数的单调性以及函数的极值是解题的关键．
 

2.         已知定义在R上的偶函数 ，其导函数为 ；当 时，恒有 ，若 ，则不等式 的解集为

A.                                                                B.
C.                                                         D.

【答案】A

【解析】解： 定义在R上的偶函数 ，
 
时，恒有 ，
，
，
，
在 为减函数，
为偶函数，
为偶函数，
在 上为增函数，
 
，
即 ，
解得 ，
故选：A
根据函数 为偶函数，则 也为偶函数，利用导数可以判断 在 为减函数，则不等式 转化为 ，解得即可
本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题
 

3.         若函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是

A.       B.        C.        D.

【答案】B

【解析】解： 在 上递减，
，在 上恒成立，
在 上恒成立，
在 上为增函数，
，
，
故选：B．
先求导数，再由“在 内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在 上恒成立求解．
本题主以及要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．
 

4.         函数 在区间 上单调递增，则a的取值范围为

A.                 B.                 C.                D.

【答案】A

【解析】解： 函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，即 ，
即a的取值范围为 ，
故选：A．
由题意可得，当 时， ，即 ，由此求得a的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．
 

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

5.         已知 ，函数 在区间 单调递减，则 的最大值为______ ．

【答案】

【解析】解： ，
，
函数 在区间 单调递减，
在 上恒成立，
则 ，即 ，即 ，
的最大值为 ，
故答案为： ．
由函数 在区间 单调递减，得 在 上恒成立，则有 ，代入可求．
本题考查利用导数研究函数的单调性，注意可导的非常数函数在 上单调递增 或单调递减 的充要条件是 或 恒成立．
 

6.         设函数 ，若 在 上单调递减，则a的取值范围是______ ．

【答案】

【解析】解： ，
在 上单调递减，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， 取得最小值 ．
．
故答案为：  
令 在 恒成立，分离参数可得 在 上恒成立，令 ，不等式转化为 ，求出函数的最小值即可得出a的范围．
本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值得计算，函数恒成立问题研究，属于中档题．
 

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

7.         已知函数 ．
Ⅰ 当 时，求函数 的单调递增区间；
Ⅱ 若函数 的图象与直线 恰有两个不同的公共点，求实数b的值．

【答案】解： Ⅰ   时， ，
所以 ，
令 0'/>，得 或 ，
所以函数 在 内是增函数．
Ⅱ  函数 的图象与直线 恰有两个不同的公共点，
等价于 有两个不等的实根．
令 ，所以
令 0'/>，得 或 ；令 得 ．
所以函数 在 和 上单调递增；在 上单调递减．
所以 时，函数 取得极大值为 ；
当 时函数 取得极小值为 ．
故 或 ．
所以 或 ．

【解析】 Ⅰ 时， ，由导数性质能求出函数 的增区间．
Ⅱ 函数 的图象与直线 恰有两个不同的公共点，等价于 有两个不等的实根 令 ，则 ，由导数性质能求出b．
本题考查函数的增区间的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
 

8.         已知函数 在 处的切线方程为 ．
Ⅰ 求实数 的值；
Ⅱ 若函数 ，且 是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．

【答案】解： Ⅰ ，
，
在 处的切线方程为 ，
，
；
Ⅱ ，
，
在其定义域 上是增函数，
在其定义域上恒成立，
在其定义域上恒成立，
在其定义域上恒成立，
而 ，当且仅当 时“ ”成立，
．

【解析】 Ⅰ 求导数，利用函数 在 处的切线方程为 ，建立方程组求实数 的值；
Ⅱ 在其定义域上是增函数，即 在其定义域上有解，分离参数求最值，即可求实数k的取值范围．
本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导数是关键．
 

9.         已知函数  
Ⅰ 求函数 在点 处的切线方程；
Ⅱ 求函数 的单调区间和极值．

【答案】解： Ⅰ 函数 的定义域为 分  
，
切线的斜率 ，切点为 分  
所以，切线方程为 ，
即 分  
Ⅱ 令 ，解得 或 ，
由 0'/>解得 或 ，由 解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ，
函数的单调递减区间为 分  
且当 时， 取得极大值 ，
分

【解析】 Ⅰ 求出函数的导数，计算 ，从而求出切线方程即可；
Ⅱ 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
 

10.     已知函数 在 与 时都取得极值．
求a、b的值与函数 的单调区间；
若对 ，不等式 恒成立，求c的取值范围．

【答案】解；
由 解得，  
，函数 的单调区间如下表：

所以函数 的递增区间是 和 ，递减区间是 ．
，
当 时， 为极大值，而 ，所以 为最大值．
要使 对 恒成立，须且只需 ．
解得 或 ．

【解析】 求出 ，因为函数在 与 时都取得极值，所以得到 且 联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得 及 ，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
根据 函数的单调性，由于 恒成立求出函数的最大值值为 ，代入求出最大值，然后令 列出不等式，求出c的范围即可．
考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．