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对一道高考试题的研究与与拓展

湖北 远安  王康垣  444200  远安县第一高级中学

一.问题提出

题目：（2015年四川理科卷第20题）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程（过程略）；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

本题的（Ⅱ）主要考查直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。立意深刻，内涵厚实。那么本题能否推广为一般情况呢？下面本文将对其进行探究。

二．问题探究

探究1：已知椭圆E：，动直线过定点且与椭圆相交于A，B两点，在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？

解析：由于我们探究的定点能够使得对于动直线恒有，不妨由一般到特殊，先考虑直线与轴平行以及与轴垂直的情形。

当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.

如果存在定点Q满足条件，则，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.

则，由，有，解得或

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.

下面证明：对任意的直线，当Q点的坐标为均有.

当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.

联立，消去“”即得.

所以.

易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.下面证明三点共线

由于

故向量共线，所以易得三点共线

所以.

结论1：已知椭圆E：，动直线过定点且与椭圆相交于A，B两点，在平面直角坐标系中，存在与点P不同的定点，使得恒成立。

同理我们可证上述结论在圆以及双曲线中也同样成立。（证明过程略）

结论2：已知圆的方程为，动直线过定点且与圆相交于A，B两点，在平面直角坐标系中，存在与点P不同的定点，使得恒成立。

结论3：已知双曲线，动直线过定点且与双曲线相交于A，B两点，在平面直角坐标系中，存在与点P不同的定点，使得恒成立。

上面三个结论将圆锥曲线又紧密的联系在一起，我们又怎能不感叹数学的美妙！

无独有偶，我们再来看2015年湖北省理科高考数学第14题。

（2015年湖北理科卷第14题）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．

（Ⅰ）圆的标准方程为          ；

（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：

①；  ②；  ③．

其中正确结论的序号是          . （写出所有正确结论的序号）

本题的（Ⅰ）我们容易求得圆的标准方程为，在此基础上我们令，可得或，即，.

在这里我们能够看到，即满足，故由结论2很容易得到（Ⅱ）中第①个命题是正确的。

（注：当然，2015年湖北理科卷第14题蕴含非常丰富，我们还可以看到，坐标平面内到两定点，距离之比等于的点的集合刚好就是圆的方程，此处不做深究。）

探究2：从在结论1证明的过程中我们注意到“三点共线”，从而证明最终结论。由此我们得到以下结论：

结论4：已知椭圆E：，动直线过定点且与椭圆相交于A，B两点，B关于轴的对称点为，则直线必过定点.

结论5：已知圆的方程为，动直线过定点且与圆相交于A，B两点，B关于轴的对称点为，则直线必过定点.

结论6：已知双曲线，动直线过定点且与双曲线相交于A，B两点，B关于轴的对称点为，则直线必过定点.

下面就结论6给予证明。

解析：易知直线斜率不存在时，点B关于轴的对称点为其本身，当然恒过

当直线斜率存在时，设直线的方程为，A、B的坐标分别为.

联立，消去“”即得

所以.

易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.

由于

故向量共线，所以易得三点共线，即直线必过定点

三．问题启示

高考试题汇聚了命题专家的智慧与心血，如果我们能够最大程度上发挥试题的研究功能，作为教师才能够“近距离”与命题专家进行心灵的交流；同时也只有认真研究高考真题，在教学上才能“借题发挥”，与学生共享“数学大餐”！