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初探三种垂直关系相互转化的基本活动经验

 湖北 远安  王康垣   王艳   444200  远安县第一高级中学

1、问题提出：在研究空间垂直关系问题中获得的以线面垂直为枢纽的三种垂直关系相互转化的经验。

2、内容界定：

空间中的垂直关系是立体几何中重要的位置关系之一，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来解决.其关系为:线线垂直线面垂直面面垂直. 这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，而线面垂直在三者中充当着承上启下的作用。

3、理由说明：

（1）必要性：

立体几何研究对象主要是空间的直线、平面和简单几何体。其中空间两条直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及两个平面的位置关系是非常重要的内容。而作为空间中最为重要的垂直关系，它始终是立体几何学习的重要内容。在垂直关系中通常围绕直线与直线、直线与平面、平面与平面这三种关系展开研究，而作为这三种垂直关系的“中枢站”——线面垂直，为这三种垂直关系的转化起到了至关重要的枢纽作用，以它为中枢将另两类垂直关系紧密联系。

附：

题1、（2008年高考文科湖北卷18题）如图，在直三棱柱中，平面侧面

（I）求证： 

（II）略.

【解析】如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

【评析】此题需由已知的面面垂直证得线线垂直，中间必须要经过线面垂直这一环节，所以解析中的“作，得到AD⊥平面A₁BC” 就成了必经之路。

（2）重要性：

三种垂直之间的转换充分体现了这样一个动态的过程，我们在“转”的过程中需要不断明确转化的归属、去向、目标、目的地，从而以线面垂直为枢纽，实现三种垂直关系的不断转化。

题2、（人教版必修2第二章2.3.1练习1）在三棱锥中，，求证：.

【解析】如图，取的中点为，连结、.

由，的中点为，故，同理：

又，所以，又，所以.

点评：（1）证明线线垂直往往化为线面垂直来解决：直线垂直于平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的一条有效途径。（2）本题的转化过程：线线垂直→线面垂直→线线垂直 

题3：（人教版必修2第二章2.3.2例3）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面平面.

【解析】由垂直于所在的平面，，所以 ，又在中是的直径，所以，而，，又因为

所以平面平面。

【评析】由线线垂直线面垂直面面垂直可知，要证面面垂直需要从线面垂直入手要加以解决，即通过面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂直，则这两个平面互相垂直。而要得到线面垂直，又须从最基本的线线垂直入手来得到。

题4：（2016全国卷I文科第18题）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

（I）略；

（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）。

【分析】探寻点E在平面PAC内的正投影F，即有。如何得到线面垂直？应该说有两种途径，一是由线线垂直得到线面垂直；二是由面面垂直得到线面垂直关系。由本题条件由面面垂直得到线面垂直是一种可行的思路，即寻找一个平面经过点E且与面PAC垂直，由已知条件易探寻出面PBA与面PAC垂直。当思考到这一点，我们要注意面面垂直向线面垂直转化过程中的条件：找交线、作交线的垂线等。故通过作即探寻出点F的位置。

【解析】在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.

理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影. 

连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.

由（I）知，是的中点，所以在上，故

由题设可得平面，平面，所以，因此

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 

在等腰直角三角形中，可得

所以四面体的体积

【评析】此问得分较低，主要原因是学生对该题设问方式的创新性（通过作图）不适应导致。但究其根本原因，还是在关键时候对三种垂直的“转换不灵”导致，此题只需抓住“面，通过平移（作平行线）的方式转换到面”.

综上所述，线面垂直“肩负着者上下起承转换”的重任，是空间三种垂直关系的中枢，学生一旦形成“以线面垂直为中轴，寻找其它垂直”的经验，就可在垂直关系的证明、空间距离、几何体体积等问题上大展身手。