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发挥试题功能

                    —— 谈高三复习备考的有效尝试

湖北 远安  王康垣  444200  远安县第一高级中学

一. 问题提出

题目：对于圆上任意一点，不等式恒成立，则的取值范围是                     。

点评：本题为我校高三年级月考的一道填空题，从此题立意来看，无非以恒成立为背景，考察二元最值问题，入口很宽，难度应该不大。但从统计全年级学生完成此题的情况来看，不甚理想。究其原因，大概是学生对二元最值问题还未形成“门道”，从而感觉到惧怕。那为什么对于此题而言，教师与学生的感悟差别有如此之大，不禁让我们同组数学教师感到震撼。我们需要反思我们的教学，是否教师包办的过多，从而造成“教”与“学”的脱节；我们的教学是否脱离了课本，忽视基础，造成学生最基础的知识都没有掌握。带着这些问题，笔者在教学时做了如下教学尝试。

二．教学过程

活动一：小组探讨，共享智慧

笔者在上课时给出此问题，让同组学生在组内充分交流，接下来就以小组为单位各抒己见，记录如下：

生1：我们小组认为不等式可变形为，那么恒成立问题就转化为求“”的最大值。

师：这一步转化非常精彩，他们小组将恒成立问题转化为最值问题，值得肯定。那么你们为什么要将“”移项到右边呢？

生2：变量分离。

师：对！变量分离本身就是处理恒成立问题的一大法宝！那么接下来我们如何求解“”的最大值呢？

生1：我们小组已达成共识，可借助于线性规划的知识来处理。我们可设，从而容易看清“”的几何意义为直线在轴上的纵截距的相反数。而点在圆上运动，从而平移直线即可求出的最大值。过程如下：如图

将直线向下平移至与圆相切时，纵截距达到最小即达到最大，在直角三角形中易知，故坐标为，所以，那么。

师：你的过程很完善，值得其他同学学习。:在线性规划中，我们经常处理最值问题，生1能够借助这一节知识来解答该小题，非常棒！

生:3：老师，我们小组有也做出来了，过程与他们有相似的地方，但后面求最值时方法不同。我们小组认为可以用前面学习的三角换元来处理“”的最大值，方法如下：记，则，利用辅助角公式将它化为，很容易看出。

师：解法很好！能谈谈你们小组如何探究出这一解法的吗？

生3：我们小组始终在关注点在圆运动，从而想到借助于圆的参数方程来试试看，果然对解答此题非常有效！

师：你们小组能观察到到这一点，最终将二元问题转化为一元问题，很好！

（一段学生的整理时间）

生4：（整理过程中已迫不及待）老师，该我们小组展示了！我们小组的解法绝对“奇葩”，可能有些同学早没任何印象了（洋洋得意中），下面就由我代表我们小组来做分析：

在极坐标中，我们令，于是可变形为。

则，所以即

故

师：这个小组的同学思考很积极，表述也很准确，让我们为他们的展示鼓掌！他们能够联系到我们学习的极坐标知识来解决本题，应该说思维跨度还是很大的，也体现了我们高三复习时需要注意各章节知识的有机融合。（教师借机发挥）那这位同学你们能谈谈你们是怎么与极坐标联系起来的吗？

生4：我们也是受到第三小组的启示，他们能够借助三角函数我们自然想到联系极坐标来完成！当然我们在解题刚开始时也受到了一些阻碍，所研究的“”始终还是含有“”两个变量，后来才注意到原始条件没有利用，刚好条件可转化为“”与“”的关系，从而消元转化后得到的是一个一元问题。

师：这位同学补充的很好，他们借助于已知条件，利用极坐标将二元问题一元化，正是体现了消元思想。下面就由我来对前面方法做一个梳理：

，解题中充分利用了数形结合、消元、化归等数学思想方法。看来不是题目难，而是我们要善于归纳，寻找解决类似问题的一般解法。

下面老师再给大家一点时间，看能不能开动脑筋，探寻本题的其他解法。

（学生分组讨论中，8分钟后开始交流）

生5：我们小组受到其他小组的启发，注意力关注在已知条件为“方程”这一特点上。我们令，从而，将它代入原方程化简得，这是关于“”的一元二次方程，由于“”要有解，可令，即可解出“”的取值范围。

师：这一小组充分挖掘题目自身条件的属性，借助于方程的思想，将求最值的问题转化为方程解的问题，很有深度！

生6：我们小组觉得可以这样换元，令，则原方程可化为，而原不等式可化为即，故只需求“”的最大值。那前面介绍的几种方法也就都可以实施了！

师：那你能为我们谈谈你们小组这种思路的形成过程嘛？

生6：我们之所以这么做，主要是我们感觉这样换元后得到的方程我们更熟悉，条件所给方程直接就是以原点为圆心，1为半径的圆了。

活动二：师生互动，启发智慧

师：你们的做法值得借鉴，将未知化已知，将不熟悉的问题转化为我们熟悉的问题，本来这一过程就体现了我们在处理问题时经常采用的方式。那同学们谈了这么多，老师想借鉴刚才这么同学的思路，给大家提一个问题，希望同学们认真思考！

（投影显示问题）：已知求的最值。

学生个个在草稿纸上演算着 …………，5分钟后

师：有哪位同学愿意为我们分享一下你的做法？

生7：有了！我是用重要不等式做的，不知道对不对，我来为同学们讲一下：

由两边都加“”可得，这样即有，所以，这样可得到，所以最大值为，最小值为。

师：你都讲得这么好了，老师也没什么补充的了！大家认为这种解法带给我们什么启发吗？

生8：老师，我懂了！你的意图是考试这题我们也可以用重要不等式来完成。

师：对！重要不等式的应用本来就体现在解决二元最值问题。可惜刚才大家一时没有跳出来，大多在尝试三角换元这一思路上。那老师在对本节课做一个归纳，梳理一下二元最值的求解方法。

这节课就到这里，当然，希望大家下去后认真归纳梳理，并可以对本题继续做深入思考，相信大家必能给我们带来更多的惊喜！

三．结束语

本节课在授课之前，我们同组老师间也曾产生过分歧。争论的主要焦点在于高三课时紧，如果一节课仅仅评讲一道试题，未免小题大做，有作秀之嫌。但本节课上完之后，老师们都给出了很高的评价，都在感叹本节课虽然看似只是评讲了一道试题，但学生们所表现出的一种积极思考的求学态度，以及分享的这几种方法所折射的数学知识之多，让他们对高三复习课怎么上有了新的认识，同时对学生的也有了新的认识！

学生的潜力无限，那我们教师在教学中如何做呢？通过本节课，本组老师达成了以下共识：

1. 营造民主平等的学习氛围。教育家陶行知先生曾明确指出：创造力最能发挥的条件是民主，因此培养创新能力就因该营造一个民主和谐的有利于学生主动参与的课堂氛围。一是营造学生自主学习的的动力场；二是让学生动手亲自体验；三是让学生动口，说出自己的想法。

2. 设疑探究，加强学生课堂中的思维能力训练。设疑探究是学生创新思维能力训练的重要手段，虽然本节课教师的设问不多，但当学生一味陷入“换元”这一狭窄思路空间时，老师有效的设问让学生在思考问题时有了更开放的空间。

3. 用新理念组织教学。民主的课堂氛围需要新的理念支配，如果我们还是一味坚持课堂大容量，老师一讲到底，那必然会导致“老师讲题千百遍，学生下笔想半天”的老局面。用新理念持之以恒地设计每节课的活动思路并能认真组织实施好，学生的创新能力才能在复习中长期有效的不断发展。